向量的数乘运算及其几何意义（一）同步测试
一、选择题
1、已知D是△ABC的边AB上的中点，则（ ） A． B． C． D． 2、设非零向量的取值范围是（ ） A．[0，1] B．[0，2] C．[0，3] D．[－3，3] 3、在中，已知D是AB边上一点，若，则（ ） A． B． C． D． 4、已知，C为线段AB上距A较近的一个三等分点，D为线段CB上距C较近的一个三等分点，则用表示的表达式为（ ） A． B． C． D． 5、已知A、B、C是不共线的三点，O是三角形ABC内一点，若，则O是三角形ABC的（ ） A．重心 B．垂心 C．内心 D．外心
1、已知D是△ABC的边AB上的中点，则（ ）
A． B． C． D．
A． B．
C． D．
2、设非零向量的取值范围是（ ）
A．[0，1] B．[0，2] C．[0，3] D．[－3，3]
A．[0，1] B．[0，2]
C．[0，3] D．[－3，3]
3、在中，已知D是AB边上一点，若，则（ ）
4、已知，C为线段AB上距A较近的一个三等分点，D为线段CB上距C较近的一个三等分点，则用表示的表达式为（ ）
5、已知A、B、C是不共线的三点，O是三角形ABC内一点，若，则O是三角形ABC的（ ）
A．重心 B．垂心 C．内心 D．外心
A．重心 B．垂心
C．内心 D．外心
提示：
1、．
2、是单位向量，把起点移至原点，终点在单位圆上；方向相同时最大为3，终点均匀分布在单位圆上时最小为0．
3、在ΔABC中，已知D是AB边上一点，若=2，=，则=，故λ=．
4、， ∴，．
4、，
∴，．
5、以OB、OC为邻边作平行四边形OBDC，设OD交BC于点E，则，则，故A、O、B三点共线，由四边形OBDC是平行四边形，故E为BC边的中点，故AO过BC边的中点E．同理BO也过AC边的中点，从而O为三角形ABC的重心．
二、填空题
6、已知向量，且，则__________．（用表示） 7、如图，在中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M，N，若，，则m＋n的值为__________．
6、已知向量，且，则__________．（用表示）
7、如图，在中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M，N，若，，则m＋n的值为__________．
6、
解析：，故．
7、2
解析：由MN的任意性可用特殊位置法：当MN与BC重合时知m=1，n=1，故m＋n=2.
三、解答题
8、如图，的两条对角线相交于点，且，，用、表示、、和．
8、解：在中，∵，
，
∴，
，，
．
9、已知G是△ABC的重心，O是外心，H是垂心，P是平面ABC内任意一点，求证： （1）； （2）； （3）； （4）点O、G、H三点共线．
9、已知G是△ABC的重心，O是外心，H是垂心，P是平面ABC内任意一点，求证：
（1）； （2）； （3）； （4）点O、G、H三点共线．
（1）；
（2）；
（3）；
（4）点O、G、H三点共线．
9、证明：（1）以向量为邻边作平行四边形GBEC，则，又G为△ABC的重心知，从而，．
（2）如图所示，易知，，；三式相加得．
（3）作辅助线如图，DA⊥AC，DB⊥BC，∴DA//BH，DB//AH．
在ADBH中，， ∴. （4）在（2）中取P为O，得. ∴，点O、G、H共线．
在ADBH中，，
∴.
（4）在（2）中取P为O，得.
∴，点O、G、H共线．
10、如图，D、E、F分别是△ABC三边AB、BC、CA上的动点，且在t=0时（初始时刻）分别从A、B、C出发，各以一定的速度沿各边向B、C、A移动，当t=1时，分别到达B、C、A，求证：0≤t≤1的任何一时刻t，△DEF的重心恒为G．
11、一条河的两岸平行，河的宽度为，一艘船从A处出发航行到河的正对岸B处，船的航行速度为，水流速度为． （1）试求的夹角（精确到1°），及船垂直到达对岸所用的时间（精确到0.1min）； （2）要使船到达对岸所用时间最少，的夹角应为多少？
11、一条河的两岸平行，河的宽度为，一艘船从A处出发航行到河的正对岸B处，船的航行速度为，水流速度为．
（1）试求的夹角（精确到1°），及船垂直到达对岸所用的时间（精确到0.1min）；
（2）要使船到达对岸所用时间最少，的夹角应为多少？
11、解：（1）依题意，要使船垂直到达对岸，就要使的合速度的方向正好垂直于对岸，所以，的夹角满足，，故的夹角；船垂直到达对岸所用的时间．
（2）设的夹角为（如图），在垂直方向上的分速度的和为，而船到达对岸时，在垂直方向上行驶的路程为，从而所用的时间为，显然，当时，最小，即船头始终向着对岸时，所用的时间最少，为．
-END-
B．
D．
的取值范围是
中，已知D是AB边上一点，若
，则
B．
D．
，C为线段AB上距A较近的一个三等分点，D为线段CB上距C较近的一个三等分点，则用
表示
的表达式为
B．
D．
，则O是三角形ABC的
．
是单位向量，把起点移至原点，终点在单位圆上；方向相同时
最大为3，终点均匀分布在单位圆上时
最小为0．
=2
，
=
，则
=
，故λ=
．
，
，
．
，则
，故A、O、B三点共线，由四边形OBDC是平行四边形，故E为BC边的中点，故AO过BC边的中点E．同理BO也过AC边的中点，从而O为三角形ABC的重心．
，且
，则
__________．（用
表示）
中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M，N，若
，
，则m＋n的值为__________．
，故
．
的两条对角线相交于点
，且
，
，用
、
表示
、
、
和
．
中，∵
，
，
，
，
，
．
；
；
；
为邻边作平行四边形GBEC，则
，又G为△ABC的重心知
，从而
，
．
，
，
；三式相加得
．
ADBH中，
，
.
.
，点O、G、H共线．
，一艘船从A处出发航行到河的正对岸B处，船的航行速度为
，水流速度为
．
的夹角（精确到1°），及船垂直到达对岸所用的时间（精确到0.1min）；
的夹角应为多少？
的合速度的方向正好垂直于对岸，所以
，
的夹角
满足
，
，故
的夹角
；船垂直到达对岸所用的时间
．
的夹角为
（如图），
在垂直方向上的分速度的和为
，而船到达对岸时，在垂直方向上行驶的路程为
，从而所用的时间为
，显然，当
时，
最小，即船头始终向着对岸时，所用的时间最少，为
．
