| 向量的数乘运算及其几何意义（二） |
主编：黄冈中学数学集体备课组
一、知识概述
共线定理：向量
与
共线，当且仅当有唯一一个实数
，使
．
二、例题讲解
例1、判断下列各题中的向量是否共线
（1）
，
；
（2）
，
，且
，
共线．
解：
（1）当
时，则
与
共线．
当
时，
，∴
与
共线．
（2）若
，此时
与
共线.
若
，此时
与
共线.
若
，则存在
.
，∴
与
共线.
综上可知
与
共线.
例2、已知向量
不共线，
（1）若
，
，
，求证：A、B、D三点共线．
（2）若向量
共线，求实数λ的值．
解：
（1）
.
∵
不共线，
，∴A、B、D不重合，且
与
共线．
∴A、B、D三点共线．
（2）∵
不共线，∴
，又∵
共线.
∴存在唯一实数μ，使
.
.
∴λ=±1.
例3、如图，在梯形ABCD中，
，G为对角线AC、BD的交点，E、F分别是腰AD、BC的中点，求
．
解：
∵
，
，
两式相加得：
.
∵A、G、C三点共线，∴存在λ∈R，使得
，
∵B、G、D三点共线，∴存在μ∈R，使得
，
由
，化简得
.
∴
，∴
．
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