平面向量的基本定理同步测试
一、选择题
1、下列说法中： （1）一个平面内只有一对不共线向量可以作为表示该平面所有向量的基底； （2）一个平面内有无数多对不共线向量可以作为表示该平面所有向量的基底； （3）零向量不能是基向量． 其中正确的是（ ） A．（1）（2） B．（2）（3） C．（1）（3） D．（1）（2）（3） 2、平行四边形ABCD的两条对角线交于点E，设，用表示的表达式为（ ） A． B． C． D． 3、若O是△ABC内一点，且，则O是△ABC的（ ） A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心 4、是共面但不共线的两个向量，则向量共线时有（ ） A．λ=0 B．λ=－1 C．λ=－2 D．λ= 5、设同一平面内的两向量、不共线，是该平面内的任一向量，则关于x的方程x2＋x＋=的解的情况，下列叙述正确的是（ ） A．至少有一个实数解 B．至多有一个实数解 C．有且只有一个实数解 D．可能有无数个解
1、下列说法中：
（1）一个平面内只有一对不共线向量可以作为表示该平面所有向量的基底； （2）一个平面内有无数多对不共线向量可以作为表示该平面所有向量的基底； （3）零向量不能是基向量． 其中正确的是（ ） A．（1）（2） B．（2）（3） C．（1）（3） D．（1）（2）（3）
（1）一个平面内只有一对不共线向量可以作为表示该平面所有向量的基底；
（2）一个平面内有无数多对不共线向量可以作为表示该平面所有向量的基底；
（3）零向量不能是基向量．
其中正确的是（ ）
A．（1）（2） B．（2）（3）
C．（1）（3） D．（1）（2）（3）
2、平行四边形ABCD的两条对角线交于点E，设，用表示的表达式为（ ）
A． B． C． D．
A． B．
C． D．
3、若O是△ABC内一点，且，则O是△ABC的（ ）
A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心
A．内心 B．外心
C．重心 D．垂心
4、是共面但不共线的两个向量，则向量共线时有（ ）
A．λ=0 B．λ=－1 C．λ=－2 D．λ=
A．λ=0 B．λ=－1
C．λ=－2 D．λ=
5、设同一平面内的两向量、不共线，是该平面内的任一向量，则关于x的方程x2＋x＋=的解的情况，下列叙述正确的是（ ）
A．至少有一个实数解 B．至多有一个实数解 C．有且只有一个实数解 D．可能有无数个解
A．至少有一个实数解 B．至多有一个实数解
C．有且只有一个实数解 D．可能有无数个解
提示：
1、一个平面内只要是不共线的两个向量都可以作为表示该平面所有向量的基底，故（1）错误，（2）正确；由于零向量与任何向量是共线向量，故不能作为基底，故（3）正确．
2、，故选B．
3、由重心的推导可知选C.
4、由于、共线，故存在实数，使=，
即．
5、原方程即：=－x2－x，∵、不共线，可视为“基底”，根据平面向量基本定理知，有且仅有一对实数、使得=－x2且=－x，即当=－ 时方程有一解，否则方程无解，故选B．
二、填空题
6、设、是两个起点相同且不共线的非零向量，则当实数t=___________时，,t,(＋)三向量的终点共线． 7、已知，C为上距A较近的一个三等分点，D为上距C较近的一个三等分点，用，表示的表达式为___________．
6、设、是两个起点相同且不共线的非零向量，则当实数t=___________时，,t,(＋)三向量的终点共线．
7、已知，C为上距A较近的一个三等分点，D为上距C较近的一个三等分点，用，表示的表达式为___________．
6、
解析：记=，t=，(＋)=，A、B、C三点共线即向量、共线存在实数，使得=即：t－=（－），∵、不共线，
∴t=且1=t=．
7、
解析： ．
解析：
．
三、解答题
8、已知向量不共线，向量，问是否存在这样的实数使向量共线？
9、已知在四边形中，，，，求证：是梯形．
9、证明：显然．
=，
∴，又点不在AD上，
∴是梯形．
10、如图,在梯形ABCD中,G为对角线AC、BD的交点，E、F分别是腰AD、BC的中点，求向量．
10、解：（1）∵ E,F分别是两腰的中点， ∴， 又，， 两式相加得；． （2）设，， 由得：， ∴,．
10、解：（1）∵ E,F分别是两腰的中点，
∴，
又，，
两式相加得；．
（2）设，，
由得：，
∴,．
11、选定为基底，设点P为、所在平面上一点，则（，）． （1）当P点在直线AB上运动时，对应的λ、μ具有怎样的特点？ （2）当P点与点O在直线AB的异侧，对应的λ，μ具有怎样的特点？ （3）当P点与点O在直线AB的同侧，对应的λ，μ具有怎样的特点？ 请将你的结论证明出来．
11、选定为基底，设点P为、所在平面上一点，则（，）．
（1）当P点在直线AB上运动时，对应的λ、μ具有怎样的特点？ （2）当P点与点O在直线AB的异侧，对应的λ，μ具有怎样的特点？ （3）当P点与点O在直线AB的同侧，对应的λ，μ具有怎样的特点？ 请将你的结论证明出来．
（1）当P点在直线AB上运动时，对应的λ、μ具有怎样的特点？
（2）当P点与点O在直线AB的异侧，对应的λ，μ具有怎样的特点？
（3）当P点与点O在直线AB的同侧，对应的λ，μ具有怎样的特点？
请将你的结论证明出来．
11、（1）λ＋μ=1． 证明：设，∵ ∴ 令λ=1－t，μ=t，∴λ＋μ=1．
11、（1）λ＋μ=1．
证明：设，∵
∴
令λ=1－t，μ=t，∴λ＋μ=1．
（2）λ＋μ>1． 证明：设，则m>1 ∴ 令λ=m(1－t),μ=mt,∴λ＋μ=m>1．
（2）λ＋μ>1．
证明：设，则m>1
令λ=m(1－t),μ=mt,∴λ＋μ=m>1．
（3）λ＋μ<1． 证明：设，则n<1， ∴ 令λ=n(1－t)，μ=nt，∴λ＋μ=n<1．
（3）λ＋μ<1．
证明：设，则n<1，
令λ=n(1－t)，μ=nt，∴λ＋μ=n<1．
-END-
，用
表示
的表达式为
B．
D．
，则O是△ABC的
是共面但不共线的两个向量，则向量
共线时有
、
不共线，
是该平面内的任一向量，则关于x的方程
x
x＋
=
的解的情况，下列叙述正确的是
，故选B．
、
共线，故存在实数
，使
=
，
．
=－x
－x
，∵
、
不共线，可视为“基底”，根据平面向量基本定理知，有且仅有一对实数
、
使得
=－x
=－x，即当
=－
时方程有一解，否则方程无解，故选B．
、
是两个起点相同且不共线的非零向量，则当实数t=___________时，
,t
,
(
＋
)三向量的终点共线．
，C为
上距A较近的一个三等分点，D为
上距C较近的一个三等分点，用
，
表示
的表达式为___________．
=
，t
=
，
(
＋
)=
，A、B、C三点共线即向量
、
共线
存在实数
，使得
=
即：t
－
=
（
－
），∵
、
不共线，
且1=
t=
．
．
不共线，向量
，问是否存在这样的实数
使向量
共线？
即可．
中，
，
，
，求证：
是梯形．
．
=
，
，又
点不在AD上，
是梯形．
,G为对角线AC、BD的交点，E、F分别是腰AD、BC的中点，求向量
．
，
，
，
．
，
，
得：
，
,
．
为基底，设点P为
、
所在平面上一点，则
（
，
）．
，∵
，则m>1
，则n<1，
