| 平面向量数量积的坐标表示 |
主编：黄冈中学数学集体备课组
一、知识概述
1、设
，则
．
2、性质：
①若
，则
；
②若
，则
；
③设
，
则
；
④设
，且
，则
．
二、例题讲解
例1、以原点和
为顶点作等腰直角
，使
，求点
和向量
的坐标．
解：
设
，则
，
，
∵
，∴
，
即：
，
又∵
，∴
，即：
，
由
或
，
∴
，
或
，
．
例2、已知A（3，0），B（0，3），C（cosα，sinα）．若
，且α∈（0，π），求
与
的夹角．
解：
设
=（3＋cosα，sinα），
∴（3＋cosα）2＋sin2α=13，∴cosα=
，∵α∈（0，π），
∴α=
，sinα=
，∴
，
则cosθ=
，∵θ∈[0，π].
∴θ=
．
例3、已知
．
(1)
为何值时，
最小?此时
与
的位置关系如何?
(2)
为何值时，
与
的夹角最小? 此时
与
的位置关系如何?
解：
（1）
，
，
当
时，
最小，此时
，
，
∴
，∴当
时，
最小，此时
．
(2)设
与
的夹角为
，则
，
要
与
的夹角最小，则
最大，
∵
，故
的最大值为1，此时
，
，解之得
，
．
∴
时，
与
的夹角最小，此时
与
平行．
例4、如图，在Rt△ABC中，已知BC=a，若长为2a的线段PQ在平面ABC内，且以A为中点，问
的夹角
取何值时
的值最大？并求出这个最大值．
解：
以直角顶点A为坐标原点，两直角边所在直线为坐标轴建立如图所示的平面直角坐标系．
设
又A（0，0），设点
的坐标为
，
.
又
.
故当
，即
（
与
方向相同）时，
最大，其最大值为0．
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