| 平面向量的应用举例 |
主编：黄冈中学数学集体备课组
例1、已知：如图所示，ABCD是菱形，AC和BD是它的两条对角线．求证：AC⊥BD．
证法一：
∵
=
＋
，
=
－
，
∴
·
=（
＋
）·（
－
）
=|
|2－|
|2=0，
∴AC⊥BD.
证法二：
以A为坐标原点，AB所在直线为x轴建系，设B（a，0），D（b，c）.
∴C(a＋b，c)且
.
例2、证明：三角形的重心到顶点的距离等于它到对边中点的距离的两倍．
证明：
设△ABC的三条中线AD、CF、BE交于点G.
下证：AG=2GD.
例3、已知
，
，
，当△AOB的面积取最大值时，求
与
的夹角．
解：
∵
，∴（
－
）2=4，即
2－2
·
＋
2=4，
所以|
|2＋|
|2=4＋2
·
=8，
S△AOB=
sinθ=
|
||
|
=
=
=
.
设
，则
.
故x=4时，
取最大值
.
此时
，∴△AOB为等边三角形，
∴
的夹角为60°.
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