平面向量的应用举例同步测试
一、选择题
1、一质点受到平面上的三个力F1、F2、F3(单位：牛顿)的作用而处于平衡状态，已知F1、F2成60°角，且F1、F2的大小分别为2和4，则F3的大小为（ ） A．2 B．2 C．2 D．6 2、在四边形ABCD中，若，则ABCD一定是（ ） A．正方形 B．菱形 C．矩形 D．梯形 3、△OAB中，，t∈R，则点P在（ ） A．∠AOB平分线所在直线上 B．线段AB中垂线上 C．AB边所在直线上 D．AB边的中线上 4、已知O为所在平面内一点，A、B、C所对的边分别为a、b、c，若，则O是△ABC的（ ） A．重心 B．垂心 C．外心 D．内心 5、①点P在△ABC所在的平面内，且；②点P是△ABC所在平面内的一点，且．上述两个点P中，是△ABC的重心的为（ ） A．都不是 B．① C．② D．①②
1、一质点受到平面上的三个力F1、F2、F3(单位：牛顿)的作用而处于平衡状态，已知F1、F2成60°角，且F1、F2的大小分别为2和4，则F3的大小为（ ）
A．2 B．2 C．2 D．6
A．2 B．2
C．2 D．6
2、在四边形ABCD中，若，则ABCD一定是（ ）
A．正方形 B．菱形 C．矩形 D．梯形
A．正方形 B．菱形
C．矩形 D．梯形
3、△OAB中，，t∈R，则点P在（ ）
A．∠AOB平分线所在直线上 B．线段AB中垂线上 C．AB边所在直线上 D．AB边的中线上
A．∠AOB平分线所在直线上
B．线段AB中垂线上
C．AB边所在直线上
D．AB边的中线上
4、已知O为所在平面内一点，A、B、C所对的边分别为a、b、c，若，则O是△ABC的（ ）
A．重心 B．垂心 C．外心 D．内心
A．重心 B．垂心
C．外心 D．内心
5、①点P在△ABC所在的平面内，且；②点P是△ABC所在平面内的一点，且．上述两个点P中，是△ABC的重心的为（ ）
A．都不是 B．① C．② D．①②
A．都不是 B．①
C．② D．①②
提示：
1、由已知条件F1＋F2＋F3=0，则F3=－F1－F2，
因此F32=(F1＋F2)2=F12＋F22＋2F1·F2=22＋42＋2×2×4cos60°=28，
所以|F3|=2．
2、由于，则四边形ABCD是平行四边形，又由于，即平行四边形的对角线长相等，故此四边形为矩形．
3、由于表示方向上的单位向量，表示方向上的单位向量，故＋表示的平分线的方向向量，故点P在的平分线所在的直线上．
∵与分别是和方向上的单位向量，设，故AP平分，所以AO平分，同理可证OB平分，OC平分．故应选D．
5、①说明点P在BC边上的中线所在的直线上，同理说明点P在AC边上的中线所在的直线上，所以点P是△ABC的重心；
②设P(x，y)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，则由，可以得到 所以点P是△ABC的重心．
二、填空题
6、向量a，b，c，满足a＋b＋c=0，(a－b)⊥c，a⊥b，若|a|=1，则|a|2＋|b|2＋|c|2的值是___________． 7、如图，在平面斜坐标系xOy中，∠xOy=60°，平面上任一点P在斜坐标系中的斜坐标是这样定义的：若=xe1＋ye2(其中e1、e2分别为与x轴、y轴方向相同的单位向量)，则P点的斜坐标为(x，y)．若P点的斜坐标为(3，－4)，则点P到原点O的距离|OP|=___________．
6、向量a，b，c，满足a＋b＋c=0，(a－b)⊥c，a⊥b，若|a|=1，则|a|2＋|b|2＋|c|2的值是___________．
7、如图，在平面斜坐标系xOy中，∠xOy=60°，平面上任一点P在斜坐标系中的斜坐标是这样定义的：若=xe1＋ye2(其中e1、e2分别为与x轴、y轴方向相同的单位向量)，则P点的斜坐标为(x，y)．若P点的斜坐标为(3，－4)，则点P到原点O的距离|OP|=___________．
三、解答题
8、已知点A(1，0)、B(0，2)、C(－1，－2)，求以A、B、C为顶点的平行四边形的第四个顶点D的坐标．
8、解：(1)设D点坐标为(x，y)，
若是□ABCD，则由得(－1，2)＝(－1－x，－2－y)，
∴
∴x＝0，y＝－4．
∴D点的坐标为(0，－4)(如图中的D1)．
(2)若是□ADBC，则由得(x－1，y)＝(1，4)．
解得x＝2，y＝4，∴D点坐标为(2，4)(如图中的D2)．
(3)若是□ABDC，则由得(－1，2)＝(x＋1，y＋2)．解得x＝－2，y＝0．
∴D点的坐标为(－2，0)(如图中的D3)．
综上所述，以A、B、C为顶点的平行四边形的第四个顶点D的坐标为(0，－4)或(2，4)或(－2，0)．
9、某人骑车以每小时a公里的速度向东行驶，感到风从正北方向吹来，而当速度为2a时，感到风从东北方向吹来，试求实际风速和方向．
9、解：设表示此人以每小时a公里的速度向东行驶的向量，
无风时此人感到风速为，设实际风速为， 那么此时人感到的风速为，设，， ∵＋＝，∴， 这就是感到由正北方向吹来的风速， ∵＋＝，∴，于是当此人的速度是原来的2倍时所感受到由东北方向吹来的风速就是，由题意：∠PBO ＝ 45°，PA⊥BO，BA＝AO， 从而，△POB为等腰直角三角形，∴PO ＝ PB ＝，即， ∴实际风速是的西北风．
无风时此人感到风速为，设实际风速为，
那么此时人感到的风速为，设，，
∵＋＝，∴，
这就是感到由正北方向吹来的风速，
∵＋＝，∴，于是当此人的速度是原来的2倍时所感受到由东北方向吹来的风速就是，由题意：∠PBO ＝ 45°，PA⊥BO，BA＝AO，
从而，△POB为等腰直角三角形，∴PO ＝ PB ＝，即，
∴实际风速是的西北风．
10、已知长方形ABCD，AB=3，BC=2，E为BC中点，P为AB上一点．（1）利用向量知识判定点P在什么位置时，∠PED=45°；（2）若∠PED=45°，求证：P、D、C、E四点共圆．
10、解：（1）如图，建立平面直角坐标系，则C（2，0），D（2，3），E（1，0）．
-END-
B．2
，则ABCD一定是
，t∈R，则点P在
所在平面内一点，A、B、C所对的边分别为a、b、c，若
，则O是△ABC的
；②点P是△ABC所在平面内的一点，且
．上述两个点P中，是△ABC的重心的为
．
，则四边形ABCD是平行四边形，又由于
，即平行四边形的对角线长相等，故此四边形为矩形．
表示
方向上的单位向量，
表示
方向上的单位向量，故
＋
表示
的平分线的方向向量，故点P在
的平分线所在的直线上．
与
分别是
和
方向上的单位向量，设
，故AP平分
，所以AO平分
，同理可证OB平分
，OC平分
．故应选D．
说明点P在BC边上的中线所在的直线上，同理
说明点P在AC边上的中线所在的直线上，所以点P是△ABC的重心；
，可以得到
所以点P是△ABC的重心．
=xe
得(－1，2)＝(－1－x，－2－y)，
得(x－1，y)＝(1，4)．
得(－1，2)＝(x＋1，y＋2)．解得x＝－2，y＝0．
表示此人以每小时a公里的速度向东行驶的向量，
，设实际风速为
，
，设
，
，
＋
＝
，∴
，
＋
＝
，∴
，于是当此人的速度是原来的2倍时所感受到由东北方向吹来的风速就是
，由题意：∠PBO ＝ 45°，PA⊥BO，BA＝AO，
，即
，
的西北风．
