| 三角函数的周期性、三角函数的图像与性质（一） |
主编：黄冈中学数学集体备课组
一、知识概述
1、三角函数的周期性
（1）周期函数的定义：对于函数y=f(x)，如果存在一个非零常数T，使得x取定义域内的任意值时，都有f(x＋T)=f(x)，那么函数y=f(x)叫做周期函数，其中非零常数T叫这个函数的一个周期．
如果T中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数叫做这个函数的最小正周期，以后提到的周期T，一般均是指最小正周期．
周期函数的定义可以理解为：当函数对于自变量的一切值每增加或减少一个非零定值T时，函数值重复出现，定义中“x取定义域内的每一个值”和“不为零的常数”是两个不可缺少的条件．
对于周期函数应注意以下几点：
①一般地，如果T（T>0）是函数y=f(x)的一个周期，那么kT(k∈N*)也是函数y=f(x)的周期；
②一个周期函数未必都有最小正周期，例如常数函数y=c，就不存在最小正周期．
周期函数y=f(x)的定义域为D，对任取x∈D，总有x＋T∈D(T≠0)，则D必是无界区间.
（2）三角函数的周期
一般地，函数y=Asin(ωx＋
)及y=Acos(ωx＋
)(其中A，ω，
为常数，且A≠0，ω>0)的周期
.
2、正弦、余弦函数的图像
由正弦函数与余弦函数的图像特点可知：
（1）函数图象在其对称轴处取得最大值或最小值，且相邻的最大值与最小值间的距离为半个周期.
（2）函数图象与x轴的交点是其对称中心，相邻两个对称中心间的距离也是半个周期.
（3）函数的对称轴与其相邻的对称中心之间的距离为
个周期.
3、正弦、余弦函数的性质
y=sinx
y=cosx
定义域
R
R
值域
[－1，1]
[－1，1]
奇偶性
奇函数
偶函数
单调性
在每个区间
上增，
在每个区间
上减
（k∈Z）
在每个区间[(2k－1)π，2kπ]上增，
在每个区间[2kπ，(2k＋1)π]上减
（k∈Z）
周期性
2π
2π
对称轴
对称中心
有界性
当x=(2k＋1)π(k∈Z)时，y最小=－1；
当x=2kπ(k∈Z)时，y最大=1．
二、例题讲解
例1、求下列函数的值域：
（1）
；
（2）
.
解：
（1）
，
∵－1≤sinx≤1，∴1≤sinx＋2≤3，∴
，
∴
．
∴函数的值域为[－2，0]．
法二：ysinx＋2y=sinx－1，∴(y－1)sinx=－2y－1，∴
．
∵－1≤sinx≤1，∴
，解得－2≤y≤0．
∴函数的值域为[－2，0]．
（2）
，
∵－1≤cosx≤1，∴
，∴
．
，∴
．
∴函数值域为
．
例2、求下列函数的单调递增区间：
解：
（1）由
，可得
．
∴
．
∴函数的单调递增区间为
．
（2）
．
由
可得
．
∴函数的单调递增区间为
．
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