例1、已知A、B、C是不共线的三点，O是△ABC内的一点．若
，则O是△ABC的（ ）
A．重心 B．垂心 C．内心 D．外心
解析：
设
，则四边形OADB为平行四边形，OD、AB为平行四边形ABCD的两对角线．
∴OD平分AB．
又∵
．∴
．
故CO所在直线平分AB．
同理AO所在直线平分BC．
∴ O为重心，选A．
例2、如图，已知 D、E、F分别是△ABC的边AB、BE、CA上的点，并且满足
．O是△ABC所在平面上的任一点，试证明
．
解析：
设点Q1是△ABC的重心，点Q2是△DEF的重心，则应有
．
于是要证的等式可转化为证
，即△ABC与△DEF有相同的重心．
设点Q是△ABC的重心，则有
．
设
，
则AD＝λAB，BE＝λBC，CF＝λCA，
．
∴点Q也是△DEF的重心．这样就有：
．
∴
．
