| 抛物线及其标准方程 |
主编：黄冈中学数学集体备课组
1、抛物线的定义：
平面内与一个定点F和一条定直线l（不过该定点）的距离相等的点的轨迹叫抛物线；
点F叫抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线．
2、抛物线的标准方程：
①推导过程：
如图，建立直角坐标系xOy，使x轴经过点F且垂直于直线l，垂足为K，并使原点与线段KF的中点重合．
设|KF|＝p (p>0)，那么焦点F的坐标为（
，准线l的方程为
设点M（x，y）是抛物线上任意一点，点M到l的距离为d．
由抛物线的定义，抛物线就是集合
将上式两边平方并化简，得y2＝2px ①
方程y2＝2px叫抛物线的标准方程，它表示的抛物线的焦点在x轴的正半轴上，坐标是
它的准线方程是
②抛物线标准方程的四种形式：
一条抛物线，由于它在坐标平面内的位置不同，方程也不同，所以抛物线的标准方程还有其他几种形式：y2＝－2px，x2＝2py，x2＝－2py．这四种抛物线的图形，标准方程，焦点坐标及准线方程列表如下：
相同点：（1）顶点为原点；（2）对称轴为坐标轴；（3）顶点到焦点的距离＝顶点到准线的距离＝
．
不同点：（1）一次变量为
，则对称轴为
轴；
（2）一次项的系数为正（负），则开口向坐标轴的正（负）方向．
例1、已知抛物线方程如下，求出焦点坐标和准线方程．
（1）
（2）
（3）
（
）
解：
（1）易知
，焦点F
，准线方程是
．
（2）
化成
，∴
，焦点F
，准线方程是
．
（3）
化成
，∴
，焦点F
，准线方程是
．
例2、求适合下列条件的抛物线的标准方程：
（1）过点（－3，2）；
解：
设抛物线方程为x2＝2p1y或y2＝－2p2x（p1>0，p2>0），
代入点（－3，2）得：9＝4p1或4＝－2p2·(－3)．
解得
．
故抛物线的标准方程为
（2）焦点在直线x－2y－4＝0上．
解：
直线x－2y－4＝0与坐标轴的交点为（4，0），（0，－2）．
①当焦点为（4，0）时，抛物线设为y2＝2p1x(p1>0)，
．
∴抛物线为y2＝16x．
②当焦点为（0，－2）时，抛物线设为x2＝－2p2y(p2>0)，
．
∴抛物线为x2＝－8y．
∴抛物线的方程为y2＝16x或x2＝－8y．
例3、点M与点
的距离比它到直线l：
的距离小1，求点M的轨迹方程．
解：
题意等价于点M到点
的距离与到直线
的距离相等，
∴M的轨迹为以
为焦点，
为准线的抛物线，所求的方程为
．
例4、动点M到y轴的距离比到点(2，0)的距离小2，求点M的轨迹方程．
解：
题目条件等价于动点M到x＝－2的距离等于到点(2，0)（备注：视频中－2改为2）的距离，或M在x轴的非正半轴上，∴轨迹方程为y2＝8x或y＝0(x≤0)．
例5、已知抛物线y2＝2x的焦点是F，点P是抛物线上的动点，又有点A（3，2），求|PA|＋|PF|的最小值，并求出取最小值时P点坐标．
解：
当x＝3时，y2＝2×3＝6，∴
．
，∴A在抛物线内部．
抛物线y2＝2x，焦点为
，准线为L：
．
过P作
，
为垂足，则
．
，当PA，
共线时，
取到最小值
．
此时P的纵坐标为2，∴横坐标为2．∴P为（2，2）．
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