| 抛物线的简单几何性质 |
主编：黄冈中学数学集体备课组
我们根据抛物线的
标准方程：
（p>0）来研究它的简单几何性质．
1、范围
因为p>0，由方
程可知x≥0 ，所以抛物线在y轴的右侧，当x的值增大时，|y|也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸．
2、对
称性
以－y代y，方程不变，所以抛物线关于x轴对称．我们把抛物线的对称轴叫做抛物线的轴．
3、顶点
抛物线与它的轴的交点叫做抛物线的顶点，在方程中，当y=0 时x=0 ，因此抛物线的顶点就是坐标原
点．
4、离心率
抛物线上的点到焦点的距离和它到准线的距离的比，叫做抛物线的离心率，由抛物线的定义可知e=1．
抛物线的4种形式的标准方程图形的简单几何性质可以得到如下的表格：
标准方程
图形
焦点坐标
准线方程
范围
x≥0
x≤0
y≥0
y≤0
对称性
轴
轴
轴
轴
顶点
离心率
例1、正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线
上，求这个正三角形的边长．
解：
△OAB的顶点A、B在y2=2px上，且设点
，
，
则
，
，又
，
所以
，
,
即
，
∴
．
∵
，
，
，∴
，∴
．
∴AB关于x轴对称．
∴
，∴
．
又
，解得
，∴边长等于
．
例2、斜率为1的直线经过抛物线
的焦点，与抛物线相交于两点A、B，求线段AB的长度．
解：
的焦点为F（1，0），∴AB方程为y=x－1．
，
．
设
．
．
（法二）由抛物线的焦点弦长公式：
．
说明：抛物线的焦点弦常见的结论．
焦点弦：过
的焦点弦
，记
，
，
（1）弦长
（
为弦的倾斜角）；
（2）
两点坐标之间的关系：
，
；
（3）
（M为AB的中点）；
（4）以AB为直径的圆与准线相切；
（5）当弦
轴时，焦点弦AB长度最短．
例3、A、B是抛物线
上的两点，满足
（O为坐标原点）．
（1）求证：A、B两点的横坐标之积为定值；
（2）直线AB经过一定点．
解：
（1）设
，设OA的方程为y=kx(k≠0)，则OB的方程为
，
由
，∴
，同理得
．
∴
（定值），且
（定值）．
∴A、B两点的横坐标之积为定值．
（2）由（1）知当
时，AB直线所在斜率
，
∴AB所在直线方程：
，即
，
该直线恒过点
．
当
或
时，直线AB方程为
，直线AB也经过定点
．
∴直线AB一定经过定点（2p，0）．
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