抛物线具有这样的光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出，今有抛物线
．一光源在点
处，由其发出的光线沿平行于抛物线的轴的方向射向抛物线上的点
，反射后又射向抛物线上的点
，再反射后，又沿平行于抛物线的轴的方向射出，途中遇到直线
上的点
，再反射后又射回点
（如图所示）．
（1）设
两点坐标分别为
，证明
；
（2）求抛物线的方程；
（3）试判断在抛物线上是否存在一点，使该点与点
关于
所在的直线对称？若存在，请求出此点的坐标；若不存在，请说明理由．
（1）证明：由抛物线的光学性质及题意知光线
必过抛物线的焦点
，当直线
斜率存在时，设直线
的方程为
， ①
由①式，得
，
将其代入抛物线方程
中，
整理，得
，由根与系数关系得
．
当直线
的倾斜角为
时，
将
代入抛物线方程，得
，
同样得到
．
（2）解：因为光线QN经直线
反射后又射向M点，所以直线MN与直线QN关于直线
对称，设点
关于
的对称点为
，则
解得
直线
的方程为
，
点的纵坐标y2＝－1，
由题设知
点的纵坐标
，且由（1）知：
，则
，得
，
故所求抛物线方程为y2＝4x．
（3）解：将y2＝4x，得
．
故
点坐标为
，
将
代入直线
的方程为
，得
，故
点坐标为
．
由
两点坐标得直线
的方程为
，
设
点关于直线
的对称点为
，
解得
又
的坐标是抛物线方程
的解，故抛物线上存在一点
与点
关于直线
对称．
