抛物线的简单几何性质同步测试
一、选择题
1、已知抛物线y2＝2px，以过焦点的弦为直径的圆与抛物线准线的位置关系是（ ） A．相离 B．相交 C．相切 D．不确定 2、设抛物线y2＝4px的焦点弦的两端点为（x1，y1）、（x2，y2），则y1y2的值是（ ） A．p2 B．1－p2 C．4p2 D．－4p2 3、已知抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点为F，点P1（x1，y1）、P2（x2，y2）、P3（x3，y3）在抛物线上，且2x2＝x1＋x3，则有（ ） A．|FP1|＋|FP2|＝|FP3| B．|FP1|2＋|FP2|2＝|FP3|2 C．2|FP2|＝|FP1|＋|FP3| D．|FP2|2＝|FP1|·|FP3| 4、已知抛物线y2＝2px（p＞0），过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A、B两点，若线段AB的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为（ ） A．x＝1 B．x＝－1 C．x＝2 D．x＝－2 5、设抛物线y2＝8x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，A为垂足．如果直线AF的斜率为，那么|PF|＝（ ）
1、已知抛物线y2＝2px，以过焦点的弦为直径的圆与抛物线准线的位置关系是（ ）
A．相离 B．相交 C．相切 D．不确定
A．相离 B．相交
C．相切 D．不确定
2、设抛物线y2＝4px的焦点弦的两端点为（x1，y1）、（x2，y2），则y1y2的值是（ ）
A．p2 B．1－p2 C．4p2 D．－4p2
A．p2 B．1－p2
C．4p2 D．－4p2
3、已知抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点为F，点P1（x1，y1）、P2（x2，y2）、P3（x3，y3）在抛物线上，且2x2＝x1＋x3，则有（ ）
A．|FP1|＋|FP2|＝|FP3| B．|FP1|2＋|FP2|2＝|FP3|2 C．2|FP2|＝|FP1|＋|FP3| D．|FP2|2＝|FP1|·|FP3|
A．|FP1|＋|FP2|＝|FP3| B．|FP1|2＋|FP2|2＝|FP3|2
C．2|FP2|＝|FP1|＋|FP3| D．|FP2|2＝|FP1|·|FP3|
4、已知抛物线y2＝2px（p＞0），过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A、B两点，若线段AB的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为（ ）
A．x＝1 B．x＝－1 C．x＝2 D．x＝－2
A．x＝1 B．x＝－1
C．x＝2 D．x＝－2
5、设抛物线y2＝8x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，A为垂足．如果直线AF的斜率为，那么|PF|＝（ ）
提示：
3、如图所示，由定义知由2x2＝x1＋x3知，2|FP2|＝|FP1|＋|FP3|．
4、设A（x1，y1），B（x2，y2），由题意，x1≠x2，y1＋y2＝4且．
5、如图所示，因为AF的斜率为，所以∠AFx＝120°，又因为PA∥x轴，所以∠PAF＝180°－120°＝60°，再加之抛物线的定义得|PA|＝|PF|，因此△PAF为等边三角形．
设准线与x轴相交于M，易得∠AFM＝60°，所以在Rt△AMF中，
，
所以|AF|＝2|MF|＝8，又因为△APF为等边三角形，故|PF|＝|AF|＝8．
二、填空题
6、过抛物线x2＝2py（p＞0）的焦点F作倾斜角为30°的直线，与抛物线分别交于A、B两点（点A在y轴左侧），则__________． 7、已知直线l1：4x－3y＋6＝0和直线l2：x＝－1，抛物线y2＝4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是__________． 8、设F为抛物线的焦点，A、B、C为该抛物线上三点，若，__________． 9、已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点为F（1，0），直线l与抛物线C相交于A，B两点．若AB的中点为（2，2），则直线l的方程为__________．
6、过抛物线x2＝2py（p＞0）的焦点F作倾斜角为30°的直线，与抛物线分别交于A、B两点（点A在y轴左侧），则__________．
7、已知直线l1：4x－3y＋6＝0和直线l2：x＝－1，抛物线y2＝4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是__________．
8、设F为抛物线的焦点，A、B、C为该抛物线上三点，若，__________．
9、已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点为F（1，0），直线l与抛物线C相交于A，B两点．若AB的中点为（2，2），则直线l的方程为__________．
6、
解析：（一）几何法：如图，令|AF|＝x，则|AA1|＝x；|FB|＝y，则|BB1|＝y
∴|HB|＝2y，∴|HB|＝2x＋x＋y＝2y，
（二）特殊值法：令p＝2，则，求出A、B坐标即可．
7、2
解析：由抛物线定义知P到准线l2：x＝－1的距离等于它到焦点（1，0）的距离，所以P到直线l1和l2的距离之和最小值等于焦点到l1的距离．
8、6
解析：由知F为△ABC的重心，
即xA＋xB＋xC＝3，
9、y＝x
解析：由题意知抛物线方程为y2＝4x，直线过点（2，2），且斜率存在，
所以设直线方程为：y＝k（x－2）＋2，联立方程消x得
设A（x1，y1），B（x2，y2），得，
又由已知y1＋y2＝4，得k＝1，所以直线方程为y＝x．
三、解答题
10、已知过抛物线y2＝6x焦点的弦长为12，求此弦所在直线的倾斜角．
11、若在抛物线y2＝4x上恒有两点关于直线l：y＝kx＋3对称，求k的取值范围．
12、过抛物线的焦点，作相互垂直的两条焦点弦和，求的最小值．
-END-
，那么|PF|＝
由2x
．
，所以∠AFx＝120°，又因为PA∥x轴，所以∠PAF＝180°－120°＝60°，再加之抛物线的定义得|PA|＝|PF|，因此△PAF为等边三角形．
，
__________．
的焦点，A、B、C为该抛物线上三点，若
，
__________．
，求出A、B坐标即可．
．
知F为△ABC的重心，
即x
，
的焦点
，作相互垂直的两条焦点弦
和
，求
的最小值．
