| 空间向量及其加、减、数乘运算 |
主编：黄冈中学数学集体备课组
一、空间向量的相关概念：
空间向量：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量；
向量的模（或长度）：空间向量的大小；
零向量：长度为零的向量；
单位向量：模为1 的向量；
相反向量：长度相等而方向相反的两个向量互为相反向量；
相等向量：方向相同且模相等的向量；
空间的两个向量都是共面向量：空间的任意两个向量都可以平移到同一个平面内，成为同一平面的两个向量．
说明：（1）由于空间任意两个向量都可转化为共面向量，所以凡涉及空间两个向量的问题，平面向量中的有关结论仍适用．
（2）空间向量a、b确定的平面不是一个，而是一个互相平行的平面的集合，但研究解决问题时，一般只要在其中一个平面内考虑即可．
二、空间向量的加法、减法运算
空间向量的加法：符合平行四边形法则或三角形法则（异起点，首尾连）如：
．
空间向量的减法：符合三角形法则（共起点，指被减）如：
．
加法的运算性质：（1）加法交换律：
；
（2）加法结合律：
．
三、空间向量的数乘运算
与平面向量一样，实数
与空间向量
的乘积
仍然是一个向量，叫做向量的数乘运算．
的长度为
；当
时，
与
同向，当
时，
与
反向，当
时，
．
空间向量的数乘运算的性质：
（1）数乘分配律：
；
（2）结合律：
．
四、空间共线向量
1、定义：表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量．
平行于
记作
．
2、共线向量定理：空间任意两个向量
、
（
），
的充要条件是存在实数λ，使
＝λ
.
3、推论：如果
为经过已知点A且平行于已知非零向量
的直线，那么对于任意一点O，点P在直线
上的充要条件是存在实数t满足等式 ：
．
其中向量
叫做直线
的方向向量.
4、结论：用向量证明P与A、B共线的方法：
证明等式
或
或
或
成立．
五、空间共面向量
1、定义：平行于同一平面的向量，叫做共面向量．
2、共面向量定理：如果两个向量
不共线，
与向量
共面的充要条件是：
存在有序实数对
使
．
3、推论：空间一点P位于平面MAB内的充分必要条件是
存在有序实数对
，使
①
或对空间任一点
，有
②
或
③
上面①式叫做平面MAB的向量表达式．
例1.如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，下列各式中运算的结果为向量
的共有（ ）
①
； ②
；
③
； ④
．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
答案：D
例2．在如图四面体ABCD中，
，M为BC的中点，Q为
的重心，试用
表示向量
．
解：因为M为BC的中点，所以
．
．
例3．已知E、F、G、H分别是空间四边形ABCD边AB、BC、CD、DA的中点．
(1)用向量法证明E、F、G、H四点共面；
(2)用向量法证明BD//平面EFGH；
(3)设M是EG和FH的交点，求证：对空间任一点O，有
．
（1）证明：可转化为证明G在由E、F、H确定的平面上．
∴G在由E、F、H确定的平面上，即所求证成立．
（2）证明：
，∴BD//EH．
（3）证明：由（2）中知：
，
，
∴四边形
为平行四边形．
∴M是EG、FH的中点，
∴
．
即所求证成立．
例4.已知O是空间任一点，A、B、C、D四点满足任三点均不共线，但四点共面，且
，则
_____________．
解：
将等式
转化为从
点出发的向量等式得：
，
由结论知
，
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