空间向量及其加、减、数乘运算同步测试
一、选择题
1．下列说法中正确的是（ ） A．在四边形ABCD中，一定有 B．在四边形ABCD中，一定有 C．若|a|＝|b|，则a＝±b D．若向量a是向量b的相反向量，则|a|＝|b| 2. 给出以下命题： ①两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同； ②若空间向量a、b满足|a|＝|b|，则a＝b； ③在正方体ABCD—A1B1C1D1中，必有； ④若空间向量m、n、p满足m＝n，n＝p，则m＝p； ⑤空间中任意两个单位向量必相等． 其中不正确命题的个数是（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 3.如果向量，则（ ） A． B． C．同向 D．反向 初中和高中九科名师视频课程免费试听1200分钟 高一课程 高一全科强化班辅导课程 免费听课 初一课程 初一全科强化班辅导课程 免费听课 高二课程 高二全科强化班辅导课程 免费听课 初二课程 初二全科强化班辅导课程 免费听课 高三课程 高三全科全年强化班课程 免费听课 初三课程 初三中考双重强化班课程 免费听课 直播讲座 初中高中名师免费公开课 免费听课 小学课程 小学全科全年强化班课程 免费听课 4. 已知点G是正方形ABCD的中心，点P为正方形ABCD所在平面外一点，则等于（ ） A． B． C． D． 5. 在下列条件中使M与A、B、C一定共面的是（ ） A． B． C． D．
1．下列说法中正确的是（ ）
A．在四边形ABCD中，一定有 B．在四边形ABCD中，一定有 C．若|a|＝|b|，则a＝±b D．若向量a是向量b的相反向量，则|a|＝|b|
A．在四边形ABCD中，一定有
B．在四边形ABCD中，一定有
C．若|a|＝|b|，则a＝±b
D．若向量a是向量b的相反向量，则|a|＝|b|
2. 给出以下命题：
①两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同； ②若空间向量a、b满足|a|＝|b|，则a＝b； ③在正方体ABCD—A1B1C1D1中，必有； ④若空间向量m、n、p满足m＝n，n＝p，则m＝p； ⑤空间中任意两个单位向量必相等． 其中不正确命题的个数是（ ） A．1 B．2 C．3 D．4
①两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同；
②若空间向量a、b满足|a|＝|b|，则a＝b；
③在正方体ABCD—A1B1C1D1中，必有；
④若空间向量m、n、p满足m＝n，n＝p，则m＝p；
⑤空间中任意两个单位向量必相等．
其中不正确命题的个数是（ ）
A．1 B．2
C．3 D．4
3.如果向量，则（ ）
A． B． C．同向 D．反向 初中和高中九科名师视频课程免费试听1200分钟 高一课程 高一全科强化班辅导课程 免费听课 初一课程 初一全科强化班辅导课程 免费听课 高二课程 高二全科强化班辅导课程 免费听课 初二课程 初二全科强化班辅导课程 免费听课 高三课程 高三全科全年强化班课程 免费听课 初三课程 初三中考双重强化班课程 免费听课 直播讲座 初中高中名师免费公开课 免费听课 小学课程 小学全科全年强化班课程 免费听课
A． B．
C．同向 D．反向
4. 已知点G是正方形ABCD的中心，点P为正方形ABCD所在平面外一点，则等于（ ）
A． B． C． D．
C． D．
5. 在下列条件中使M与A、B、C一定共面的是（ ）
A．
B．
C．
D．
提示：
1、由ABCD不一定是平行四边形知，A错；∵，∴B错；由|a|＝|b|仅推得a与b长度相等，其方向是任意的，∴a不一定等于±b，C错，故选D．
2、当两个空间向量的起点相同，终点也相同时，这两个向量必相等；但两个向量相等，却不一定有起点相同、终点相同，故①错；根据向量相等的定义，要保证两向量相等，不仅模要相等，而且方向还要相同，但②中向量a与b的方向不一定相同，故②错；根据正方体的性质，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，向量的方向相同，模长也相等，应有，故③正确；命题④显然正确；对于命题⑤，空间中任意两个单位向量模长均为1，但方向不一定相同，故不一定相等，故⑤错．
3、∵，
∴C在线段AB上，∴反向，选D．
4、在平面PAC内，，在平面PBD内，同理，
所以，选A．
5、由，∴共面，即四点M、A、B、C共面，选C．
二、填空题
6．已知点M在平面ABC内，并且对空间任一点O，，则x的值为_________． 7. 在四面体O－ABC中，，D为BC的中点，E为AD的中点，则＝___________(用a、b、c表示)． 8. 下列命题：①若a与b共线，b与c共线，则a与c共线；②若a与b共线，则存在唯一实数λ，使b＝λa；③若a与b共线，则|a|－|b|＝|a＋b|；④若a与b同向，则|a＋b|≥|a|．其中正确的命题序号是____________．
6．已知点M在平面ABC内，并且对空间任一点O，，则x的值为_________．
7. 在四面体O－ABC中，，D为BC的中点，E为AD的中点，则＝___________(用a、b、c表示)．
8. 下列命题：①若a与b共线，b与c共线，则a与c共线；②若a与b共线，则存在唯一实数λ，使b＝λa；③若a与b共线，则|a|－|b|＝|a＋b|；④若a与b同向，则|a＋b|≥|a|．其中正确的命题序号是____________．
6、
解析：∵M、A、B、C四点共面有：
7、
解析：
8、④
解析：当b＝0时，不能推出a与c共线，①错；当a＝0而b≠0时，找不到λ使得b＝λa，②错；当a、b同向或|a|<|b|时，|a|－|b|≠|a＋b|，③错；由a、b同向，有|a＋b|＝|a|＋|b|≥|a|，④正确．
三、解答题
9.在平行六面体中，求证：．
9、证明：∵平行六面体的六个面均为平行四边形， ∴；；． ∴ ，又由于． ∴， ∴．
9、证明：∵平行六面体的六个面均为平行四边形，
∴；；．
∴
，又由于．
∴，
∴．
10．已知，，若，求实数的值．
10、解：∵，∴．
∴.
11.已知两个非零向量不共线，如果，，，求证：共面．
11、证明：∵，，，
∴共面．
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；
，则
B．
同向 D．
反向
等于
B．
D．
，∴B错；由|a|＝|b|仅推得a与b长度相等，其方向是任意的，∴a不一定等于±b，C错，故选D．
的方向相同，模长也相等，应有
，故③正确；命题④显然正确；对于命题⑤，空间中任意两个单位向量模长均为1，但方向不一定相同，故不一定相等，故⑤错．
，
反向，选D．
，在平面PBD内，同理
，
，选A．
，∴
共面，即四点M、A、B、C共面，选C．
，则x的值为_________．
，D为BC的中点，E为AD的中点，则
＝___________(用a、b、c表示)．
中，求证：
．
；
；
．
，又由于
．
，
．
，
，若
，求实数
的值．
，∴
．
．
.
不共线，如果
，
，
，求证：
共面．
，
，
，
．
共面．