| 空间向量的数量积运算 |
主编：黄冈中学数学集体备课组
一、空间向量的夹角
1、定义：已知空间两个非零向量
、
，在空间任取一点
，作
则
叫做向量
、
的夹角，记作
．
2、夹角的范围：0°≤θ≤180°．
二、空间向量数量积
定义：已知空间两个非零向量
、
，则
叫做
、
的数量积，记作
．
即：
．
规定：
与任何向量的数量积都为
．
说明：
（1）两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由cosθ的符号所决定．
（2）两个向量的数量积写成
；今后要学到两个向量的外积
，而ab是两个数的积，书写时要严格区分．
（3）在数量积中，若
（备注：视频中应该是
），且
，不能推出
（备注：视频中应该是
），因为其中cosθ有可能为0．
（4）在实数中，有(a×b)c = a(b×c)，但是
．
三、数量积的性质
（1）
；
（2）
；
（3）当
与
同向时，
；当
与
反向时，
；
特别的
或
；
（4）
；
（5）
．
四、数量积的运算律
（1）交换律：
；
（2）结合律：
；
（3）分配律：
．
例1、用向量方法证明：直线和平面垂直的判定定理．
已知：
是平面
内的两条相交直线，直线
与平面
的交点为
，且
．求证：
．
证明：
作
平面内任意一条直线g，设直线m，n，g，l的方向向量分别为
．
∵m，n相交，
不共线，又
在
内，
∴由共面向量定理知，存在（x，y）使得
．
∴
，又l⊥m，l⊥n，
．
∴
，∴
，∴l⊥g．
∴由直线g的任意性知l⊥α．
例2、已知空间四边形ABCD中，
，
，求证：
．
证明：
．
∴
．
例3、如图，在空间四边形
中，
，
，
，
，
，
，求OA与BC的夹角的余弦值．
解：
∴
．
∴OA与BC的夹角的余弦值为
．
例4．已知在平行六面体
－
中，|AB|=4，|AD|=3，
=5，∠BAD=90°，∠BAA′=∠DAA′=60°，则
等于（ ）
A．85 B．
C．
D．50
答案：B
高一全科点睛班课程 高一全科强化班课程 高二全科全年强化班 高三全科强化班课程 初一全科强化班课程 初一全科点睛班课程 初二全科强化班视频 初二全科点睛班课程 初三全科强化班 全科巨无霸同步提高课程 小学全年全科强化班
- 返回 -
