| 空间向量的坐标表示及坐标运算 |
主编：黄冈中学数学集体备课组
一、空间向量基本定理
如果三个向量a、b、c不共面，那么对于空间任一向量p，存在一个唯一的有序实数组x、y、z，使：p＝xa＋yb＋zc．
证明：
存在性：任取点O，作
，
，
过点P作
交平面OAB于点
，在平面OAB内过
分别作OA、OB的平行线交OB、OA交于点
、
，
由向量共线知：
，
，
，
所以
．
唯一性：设另有一组实数
，使得
，则有
，∴
．
∵
不共面，∴
，即
．
故实数x、y、z是唯一的．
由上述定理可知，空间任一向量均可以由空间不共面的三个向量生成，我们把｛a、b、c｝叫做空间的一个基底，a、b、c都叫做基向量．
说明：①空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底．
②三个向量不共面就隐含着它们都不是零向量（零向量与任意非零向量共线，与任意两个非零向量共面）．
③一个基底是不共面的三个向量构成的一个向量组，一个基向量是指基底中的某一个向量．
二、单位正交基底和空间直角坐标系
单位正交基底：如果空间的一个基底的三个向量互相垂直，且长度都为1，则这个基底叫做单位正交基底，常用
表示．
空间直角坐标系：在空间选定一点O和一个单位正交基底
，以点O为原点，分别以
为正方向建立三条数轴：x轴、y轴、z轴，则建立了一个空间直角坐标系
，点O叫原点，向量
都叫坐标向量．
三、空间向量的坐标
给定空间直角坐标系和向量
，设
为坐标向量，则存在唯一的有序实数组
，使
，有序实数组
叫作向量
在空间直角坐标系
中的坐标，记作
．
四、空间向量的直角坐标运算：
若
，
，则
（1）
；
（2）
；
（3）
，
（4）
；
（5）
．
（6）若
，
，则
．
（7）向量的模为：
，这个式子我们称为向量的长度公式．
（8）空间向量的夹角公式：
．
五、空间两点间的距离公式与中点坐标公式：
已知点
，
，则
，AB的中点坐标为
．
例1、已知空间四边形OABC，其对角线OB,AC，M,N分别是对边OA,BC的中点，点G在线段MN上，且MG=2GN，用基底向量
表示向量
、
．
解：
．
例2、已知
，
，求
，
，
，
，
．
解：
．
．
．
．
或
．
．
．
或
．
例3、如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC=BC=1，AA1=2，∠ACB=90°．
(1)若点N是AA1的中点，求点B与N的距离；
(2)求向量
夹角的余弦．
解：
以C为原点，以
的方向为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系C－xyz．
(1)依题意得B(0，1，0)，N(1，0，1)，
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