空间向量的坐标表示及坐标运算同步测试
一、选择题
1、已知a＝(1，0，1)，b＝(－2，－1，1)，c＝(3，1，0)，则|a－b＋2c|等于（ ） A． B． C． D．5 2、设x＝a＋b，y＝b＋c，z＝c＋a，且{a，b，c}是空间的一个基底，给出下列向量组：①{a，b，x}；②{x，y，z}；③{b，c，z}；④{x，y，a＋b＋c}，其中可以作为空间的基底的向量组有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3、在空间直角坐标系O－xyz中，下列说法正确的是（ ） A．向量的坐标与点B的坐标相同 B．向量与点A的坐标相同 C．向量与向量的坐标相同 D．向量与向量的坐标相同 4、若a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则是a//b的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．不充分不必要条件 5、点M(－1，3，－4)在坐标平面xOy，xOz，yOz内的射影的坐标分别是（ ） A．(－1，3，0)，(－1，0，－4)，(0，3，－4) B．(0，3，－4)，(－1，0，－4)，(0，3，－4) C．(－1，3，0)，(－1，3，－4)，(0，3，－4) D．(0，0，0)，(－1，0，0)，(0，2，30)
1、已知a＝(1，0，1)，b＝(－2，－1，1)，c＝(3，1，0)，则|a－b＋2c|等于（ ）
A． B． C． D．5
A． B．
C． D．5
2、设x＝a＋b，y＝b＋c，z＝c＋a，且{a，b，c}是空间的一个基底，给出下列向量组：①{a，b，x}；②{x，y，z}；③{b，c，z}；④{x，y，a＋b＋c}，其中可以作为空间的基底的向量组有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
3、在空间直角坐标系O－xyz中，下列说法正确的是（ ）
A．向量的坐标与点B的坐标相同 B．向量与点A的坐标相同 C．向量与向量的坐标相同 D．向量与向量的坐标相同
A．向量的坐标与点B的坐标相同
B．向量与点A的坐标相同
C．向量与向量的坐标相同
D．向量与向量的坐标相同
4、若a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则是a//b的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．不充分不必要条件
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．不充分不必要条件
5、点M(－1，3，－4)在坐标平面xOy，xOz，yOz内的射影的坐标分别是（ ）
A．(－1，3，0)，(－1，0，－4)，(0，3，－4) B．(0，3，－4)，(－1，0，－4)，(0，3，－4) C．(－1，3，0)，(－1，3，－4)，(0，3，－4) D．(0，0，0)，(－1，0，0)，(0，2，30)
A．(－1，3，0)，(－1，0，－4)，(0，3，－4)
B．(0，3，－4)，(－1，0，－4)，(0，3，－4)
C．(－1，3，0)，(－1，3，－4)，(0，3，－4)
D．(0，0，0)，(－1，0，0)，(0，2，30)
提示：
1、|a－b＋2c|＝|（9，3，0）|＝．
2、如图所示．
由A、B1、C、D1四点不共面，可知向量x、y、z也不共面，
同理可知b、c、z和x，y，a＋b＋c也不共面．
3、∵的坐标相同，选D．
4、设，则有a＝λb(b≠0)，∴a//b，即正推成立；若b＝0，恒有a//b，但无意义，逆推不成立，∴选A．
5、点M在平面xOy，xOz，yOz内的射影的坐标中，分别是竖坐标、纵坐标、横坐标为0，选A．
二、填空题
6、如图，已知空间四边形OABC，其对角线为OB、AC，M是边OA的中点，G是△ABC的重心，用基向量表示向量的表达式为____________． 7、已知A点的坐标是(1，2，－1)，向量与向量关于y轴对称，向量关于平面xOy对称，则的坐标为__________，的坐标为__________． 8、已知a＝(2，－1，3)，b＝(－1，4，－2)，c＝(7，5，λ)，若a，b，c三向量共面，则实数λ等于_______． 9、已知A(1，0，0)，B(0，－1，1)，的夹角为120°，则λ的值为________．
6、如图，已知空间四边形OABC，其对角线为OB、AC，M是边OA的中点，G是△ABC的重心，用基向量表示向量的表达式为____________．
7、已知A点的坐标是(1，2，－1)，向量与向量关于y轴对称，向量关于平面xOy对称，则的坐标为__________，的坐标为__________．
8、已知a＝(2，－1，3)，b＝(－1，4，－2)，c＝(7，5，λ)，若a，b，c三向量共面，则实数λ等于_______．
9、已知A(1，0，0)，B(0，－1，1)，的夹角为120°，则λ的值为________．
6、
7、(－1，2，1)，(1，2，1)
解析：此处有一个结论，点A关于什么（x、y、z轴或三个轴构成的平面）对称，则其对称点的什么（x、y、z轴或三个轴构成的平面）就不变，其它的变为相反数．
8、
解析：由a，b，c三向量共面，有c＝xa＋yb(x，y∈R)，
即(7，5，λ)＝(2x－y，－x＋4y，3x－2y)，
，∴λ＝3x－2y＝．
9、
三、解答题
10、已知a＝(2，－1，－2)，b＝(0，－1，4)，求a＋b，a－b，a·b，(2a)·(－b)，(a＋b)·(a－b)．
10、解：a＋b＝(2，－1，－2)＋(0，－1，4)＝(2＋0，－1＋(－1)，－2＋4)＝(2，－2，2)；
a－b＝(2，－1，－2)－(0，－1，4)＝(2－0，－1＋1，－2－4)＝(2，0，－6)；
a·b＝(2，－1，－2)·(0，－1，4)＝2×0＋(－1)×(－1)＋(－2)×4＝－7；
(2a)·(－b)＝－2(a·b)＝－2×(－7)＝14；
(a＋b)·(a－b)＝(2，－2，2)·(2，0，－6)＝2×2－2×0＋2×(－6)＝－8．
11、已知A(4，1，3)、B(2，3，1)、C(3，7，－5)，点P(x，－1，3)在平面ABC内，求x．
11、解：∵A(4，1，3)、B(2，3，1)、C(3，7，－5)、P(x，－1，3)，
∴＝(x－4，－2，0)，＝(－2，2，－2)，＝(－1，6，－8)．
又由于点P在平面ABC内，所以P、A、B、C四点共面，所以三个向量共面，故由共面向量定理知存在实数m、n使．
即(x－4，－2，0)＝m(－2，2，－2)＋n(－1，6，－8)＝(－2m－n，2m＋6n，－2m－8n)，
故x＝11为所求．
12．在棱长为1的正方体中，分别是的中点， （1）求线段EF的长度； （2）求证平面．
12．在棱长为1的正方体中，分别是的中点，
（1）求线段EF的长度； （2）求证平面．
（1）求线段EF的长度；
（2）求证平面．
12、解：设，，，分别以为坐标向量建立空间直角坐标系D—xyz.
（1）易知，，所以；
（2）证明：
，，
.
∴，
又，，
∴，，所以，平面．
13、已知A(1，0，0)，B(0，1，0)，C(0，0，2)，求满足下列条件的点D的坐标． (1)DB//AC，DC//AB； (2)DB⊥AC，DC⊥AB且AD＝BC．
13、已知A(1，0，0)，B(0，1，0)，C(0，0，2)，求满足下列条件的点D的坐标．
(1)DB//AC，DC//AB； (2)DB⊥AC，DC⊥AB且AD＝BC．
(1)DB//AC，DC//AB；
(2)DB⊥AC，DC⊥AB且AD＝BC．
13、解：设点D坐标为(x，y，z)，则
-END-
B．
D．5
的坐标与点B的坐标相同
与点A的坐标相同
与向量
的坐标相同
与向量
的坐标相同
是a//b的
．
的坐标相同，选D．
，则有a＝λb(b≠0)，∴a//b，即正推成立；若b＝0，恒有a//b，但
无意义，逆推不成立，∴选A．
表示向量
的表达式为____________．
与向量
关于y轴对称，向量
关于平面xOy对称，则
的坐标为__________，
的坐标为__________．
的夹角为120°，则λ的值为________．
，∴λ＝3x－2y＝
．
＝(x－4，－2，0)，
＝(－2，2，－2)，
＝(－1，6，－8)．
三个向量共面，故由共面向量定理知存在实数m、n使
．
故x＝11为所求．
中，
分别是
的中点，
平面
．
，
，
，分别以
为坐标向量建立空间直角坐标系D—xyz.
，
，所以
；
，
，
.
，
，
，
，
，所以，
平面
．
