| 立体几何中的向量方法 |
主编：黄冈中学数学集体备课组
一、空间向量基本定理
1．利用向量确定点的位置
在空间中，取一定点O作为基点，那么空间中任意一点P的位置就可以用
来表示．我们把向量
称为点P的位置向量．
2．利用向量确定直线的位置
设点A是直线
上一点，向量a是直线
，那么对于直线
．这样，点A和向量a就可以确定直线
3．利用向量确定平面的位置关系
（1）
是不共线的向量，A是空间的一定点，过A点由
确定的平面为α，记平面α内的任意一点为P，则点P满足：
；
（2）平面α的法向量：直线
，取直线l的方向向量a，则向量a叫做平面α的法向量；给定一点A和一个向量a，那么，过点A，以向量a为法向量的平面是完全确定的，设平面内任意一点为P，则P满足
．
4．立体几何中的向量方法：利用向量法确定直线、平面间的平行、垂直等位置关系
因为方向向量与法向量可以确定直线和平面的位置，所以可以利用直线的方向向量与平面的法向量表示空间直线、平面间的平行、垂直等位置关系．
设直线l1的方向向量是
，直线l2的方向向量是
，平面α的法向量是
，平面β的法向量是
，则
（1）
；
（2）
；
（3）
；
（4）
；
（5）
；
（6）
．
例1．已知平面α经过三点A(1，2，3)，B(2，0，－1)，C(4，－2，0)，试求平面α的一个法向量．
解：
∵A(1，2，3)，B(2，0，－1)，C(4，－2，0)，
∴
＝(1，－2，－4)，
＝(3，－4，－3)．
设平面α的法向量为
＝(x，y，z)．则
．
，
令
，则可取
．
例2．已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，E、F分别是BB1、DD1的中点，求证：
(1)FC1∥平面ADE；
(2)平面ADE∥平面B1C1F.
证明：
以D为原点，以
的方向为x，y，z轴正方向，建立空间直角坐标系D－xyz．
（1）D(0，0，0)、A(2，0，0)，E(2，2，1)，F（0，0，1），C1(0，2，2)．
∴
=（0，2，1），设
为面ADE的法向量．
则
．
令y=1，则可取
．
（2）B1（2，2，2），F(0，0，1)，
．
设面B1C1F的法向量为
．
则
．
令y2=1，则可取法向量为
．
由（1）中知面ADE的一个法向量为
．
．
例3、在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E，F分别是棱AB，BC的中点，试在棱BB1上找一点M，使得D1M⊥平面EFB1.
解：
以D为原点，建立如图所示的空间直角坐标系D－xyz．
设正方体棱长为2，则B1（2，2，2），E（2，1，0），F(1，2，0)，D1（0，0，2），设M（2，2，z0）．
．
要D1M⊥面EFB1，则
．
．
∴当M为BB1的中点时，有D1M⊥面EFB1．
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