| 立体几何中的向量方法（2） —向量法求空间的角 |
主编：黄冈中学数学集体备课组
一、异面直线所成的角：
1．范围：
；
2．向量求法：设
分别是两条异面直线
的方向向量，则
所成角的余弦值为
．
（说明：要注意异面直线所成的角与向量夹角的区别与联系．）
二、直线与平面所成的角：
1．范围：
；
2．向量求法：设直线
是平面
的一条斜线，
是直线
的方向向量，
是
的法向量，
则
与
所成角的正弦值为
．
三、二面角：
1．范围：
2．向量求法：①设
分别是二面角
的两个面内与棱
垂直的向量，而二面角的大小是
或其补角的大小；
②设
分别是二面角
的两个面
的法向量，则二面角的平面角的大小就是
或其补角的大小．
例1．正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是A1D1、A1C1的中点．
（1）求异面直线AE与CF所成角的余弦值；
（2）求直线CF与平面ABE所成的角的正弦值．
解：
（1）如图建立空间直角坐标系D－xyz，设棱长为2．
A（2，0，0），E（1，0，2），C（0，2，0），F（1，1，2）．
∴
＝(－1,0,2)，
＝(1，－1,2)，
∴
·
＝－1＋0＋4＝3．
∴cos〈
,
〉
=
,
∴异面直线AE与CF所成角的余弦值为
．
（2）A（2，0，0），B（2，2，0），E（1，0，2），
设
为平面ABE的法向量，则
，
∴
，令
，则可取
，
而
＝(1，－1,2)，∴
，
所以直线CF与平面ABE所成的角的正弦值为
．
例2．正方体ABEF－DCE′F′中，M、N分别为AC、BF的中点(如图所示)，求平面MNA与平面MNB所成锐二面角的平面角的余弦值．
解：
以B为原点，以
的方向为x、y、z轴正方向建立空间直角坐标系B－xyz，设棱长为1，则A（1，0，0），N (
,
,0)，M(
，0，
)，设面AMN的法向量为
．
则
，令x=1，则可取
．
同理可求出面MNB的法向量可以为
．
．
∴所求二面角的余弦值为
．
例3．在四棱锥
中，侧面
底面
，
，底面ABCD是直角梯形，
，
=90°,
，
.
（1）求证：
平面
；
（2）设Q为侧棱PC上一点，
，
试确定
的值，使得二面角
的平面角为45°.
（1）证明：∵面PCD⊥面ABCD，且PD⊥DC，∴PD⊥面ABCD，∴PD⊥AD，而∠ADC=90°，
∴以D为原点，建立如图空间直角坐标系D－xyz，D（0，0，0），B（1，1，0），C（0，2，0）．
．
．
∴BC⊥平面PBD．
（2）解：由（1）中，BC⊥平面PBD，∴面PBD的法向量可为
．
设
，记面QBD的法向量为
．
，由
得：
．
令y=1，则可取
．
．
注意到
，解得
高一全科点睛班课程 高一全科强化班课程 高二全科全年强化班 高三全科强化班课程 初一全科强化班课程 初一全科点睛班课程 初二全科强化班视频 初二全科点睛班课程 初三全科强化班 全科巨无霸同步提高课程 小学全年全科强化班
- 返回 -
