| 立体几何中的向量方法（3） ——空间的距离 |
主编：黄冈中学数学集体备课组
一、
在
方向上的投影
设
，
是直线l的方向向量，过M、N分别作l的垂线
、
，垂足分别为
、
，则
为
在
方向上的投影的绝对值，记为
．
二、用向量法求点到面的距离
点Ｐ到平面
的距离为点Ｐ到平面
的垂线段的长．
如图所示，点Ｐ为平面
外一点，A为
内任意一点，
为平面
的法向量，则Ｐ到平面
的距离为
．
三、用向量法求直线到平面的距离
只存在于直线和平面平行之间．为直线上任意一点到平面的距离．
若
，
是
的法向量，P是直线上任意一点，A是平面
内任意一点，则直线l到平面
的距离为
．
四、用向量法求平面与平面间的距离
只存在于两个平行平面之间．为一个平面上任意一点到另一个平面的距离．
若
，
是
、
的公共法向量，A、B分别是平面
、
内任意一点，
则
、
间的距离为
．
五、用向量法求两异面直线的距离
异面直线a,b间的距离为a,b间的公垂线段的长．
若直线a、b是异面直线，
，
，A、B分别是直线a、b上任意一点，
则直线a、b间的距离为
．
例1．在正方体AC1中，棱长为a．
(1)求点C到平面BDC1的距离；
(2)求直线AB1与平面BDC1的距离；
(3)求平面AB1D1与平面BDC1的距离；
(4)求异面直线AB1与BC1的距离．
解：
以D为原点，建立如图空间直角坐标系D－xyz．
D(0，0，0)，B(a，a，0)，C1(0，a，a)．
设
为面BDC1的法向量，则
．
，令y=－1，则取
．
（1）点C到面BDC1的距离为
．
（2）易知AB1//DC1，∴AB1//面BDC1．
∴AB1到面BDC1的距离为
．
（3）由（2）中知AB1//面BDC1，又易知AD1//BC1，∴AD1//面BDC1．
∴面AB1D1//面BDC1，∴
也为面AB1D1的法向量．
∴面AB1D1到面BDC1的距离为
．
（4）由上知，
为面AB1D1，面BDC1的公共法向量，∴
．
∴直线AB1与BC1的距离为
．
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