| 充分条件与必要条件 |
主编：黄冈中学数学集体备课组
思考：判断命题“若ab=0，则a=0”及其逆命题的真假．
答案：原命题为假，即由ab=0不能推出a=0，可以记为
；
逆命题为真，即由a=0可以推出ab=0，可以记为a=0
ab=0．
1、认识“
”与“
”
如果命题“若p则q”为真，则记作
或者
，读作“p推出q”；
如果命题“若p则q”为假，则记作
或者
，读作“p推不出q”；
2、充分条件和必要条件：
若
，则p是q的充分条件，q是p的必要条件；
若
，则p不是q的充分条件，q不是p的必要条件．
注意：满足“若p则q”时充分条件和必要条件的形式特征：充分在前，必要在后，即前面是后面的充分条件，后面是前面的必要条件．
上述命题的逆命题“若a=0，则ab=0”，“a=0”就是“ab=0”的充分条件，“ab=0”就是“a=0”的必要条件．
例1、下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的p是q的充分条件？
（1）若
，则
；
（2）若
，则
；
（3）若
，则
为减函数；
（4）若x为无理数，则x2为无理数；
（5）若
，则
．
答案：
要p是q的充分条件，则
，即命题为真．（1）（2）（3）中p是q的充分条件．（4）（5）中p不是q的充分条件．
3、从集合的角度理解充分条件和必要条件：
若集合P，Q满足
，则
，即
是
的充分条件，
是
的必要条件，用口诀可以记忆为“小充分大必要”．
例2、下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的q是p的必要条件？
（1）若
，则
；
（2）若圆心到直线的距离等于圆的半径，则这条直线为圆的切线；
（3）若
，则
；
（4）若
，则
．
答案：
要q是p的必要条件，则
，即命题为真．（1）（2）（4）中q是p的必要条件．
变式：在例2 中，哪些命题中的p是q的必要条件．
答案：
要p是q的必要条件，则
，即命题的逆命题为真．（1）（2）（3）中p是
的必要条件．
例3、判断下列命题的真假：
（1）“x是6的倍数”是“x是2的倍数”的充分条件；
（2）“x<3”是“x<5”的必要条件．
答案：
（1）中为真命题，（2）中为假命题．
思考2：判断命题“若
时，则函数
的值随
的值的增加而增加”及其逆命题的真假，并指出其中存在的充分条件和必要条件．
答案：
原命题为真，即由p：
：函数
的值随x的值的增加而增加，
即p是q的充分条件，q是p的必要条件；
逆命题为真，即由q：函数
的值随x的值的增加而增加
：a>0，即q是p的充分条件，p是q的必要条件．
4、充要条件
如果既有p
q，又有q
p，就记作p
q．我们就说，p和q互为充要条件．
说明：（1）符号“
”叫做等价符号，“p
q”表示“p
q且p
q”；也表示“p等价于q”．
（2）“充要条件”有时还可以改用“当且仅当”来表示，其中“当”表示“充分”，“仅当”表示“必要”．
例4、下列命题中，哪些p是q的充要条件？
（1）p：四边形的对角线相等，q：四边形是平行四边形；
（2）p：
或
，q：
；
（3）p：xy≥0，q：|x|＋|y|＝|x＋y|；
（4）p：m>0，q：方程x2－x－m＝0有实根．（备注：视频老师讲解时方程写错，应为x2－x－m＝0）
答案：
（2）（3）中，p
q，所以（2）（3）中p是q的充要条件．
归纳：判别充要条件的步骤：
（1）认清条件和结论；
（2）考察p
q和q
p的真假；
（3）得出结论：
①若p
q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件
②若q
p，则p是q的必要条件，q是p的充分条件
③若p
q和q
p，则p是q的充要条件，q是p的充要条件．
引申结论：
p、q分别表示某条件
（1）p
q且q
p
则称条件p是条件q的充分不必要条件
（2）p
q且q
p
则称条件p是条件q的必要不充分条件
（3）p
q且q
p
则称条件p是条件q的充要条件
（4）p
q且q
p
则称条件p是条件q的既不充分也不必要条件（备注：视频中漏掉了一个“不”字）
例5、（1）“
”是“一元二次方程
有实数解”的（ ）
A．充分不必要条件 B．充分必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
答案：A
（2）“
>0”是“a>0”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
答案：B
例6、求证实系数一元二次方程
有两个异号根的充要条件是
证明：
（1）先证充分性．
∵
，∴方程
的
，
∴方程
有两个不相等的实根，设其为
．
∵
，∴方程
有两个异号实根．
（2）再证必要性
∵方程
有两个异号实根，设其为
，∴
，∵
，
∴
．
由（1）（2）知原命题得证．
例7、已知P＝{x|x2－8x－20≤0}，S＝{x||x－1|≤m}（m>0）．
(1)是否存在实数m，使x∈P是x∈S的充要条件，若存在，求出m的范围；
(2)是否存在实数m，使x∈P是x∈S的必要条件，若存在，求出m的范围．
解：
由x2－8x－20≤0
－2≤x≤10，∴P＝[－2,10]．
由|x－1|≤m
1－m≤x≤1＋m，∴S＝[1－m,1＋m]．
（1）由题意x∈P是x∈S的充要条件，则P＝S．
则
．
∴这样的m不存在．
（2）由题意x∈P是x∈S的必要条件，则S
P．
即[1－m，1＋m]
[－2，10]．
，∴m≤3．
综上，当m≤3时，x∈P是x∈S的必要条件．
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