| 简单的逻辑联结词 |
主编：黄冈中学数学集体备课组
思考：下列三个命题间有什么关系？
（1）12能被3整除；
（2）12能被4整除；
（3）12能被3整除且能被4整除．
1、p且q
一般地，用逻辑联结词“且”把命题p和命题q联结起来，就得到一个新命题，记作
，读作“p且q”．
规定：当p、q都是真命题时，
是真命题；当p、q两个命题中有一个是假命题时，
是假命题．即：全真为真，有假即假．
此处原理类似于物理学中串联电路：
开关的闭合与断开对应两个命题的真假，只有在两个开关都闭合时电路才接通．
例1、将下列命题用“且”联结成新命题，并判断它的真假：
（1）p：平行四边形的对角线互相平分；q：平行四边形的对角线相等．
（2）p：菱形的对角线互相垂直；q：菱形的对角线互相平分．
（3）p：35是15的倍数；q：35是7的倍数．
答案：
（1）
：平行四边形的对角线互相平分且相等．因为p真q假，所以
为假命题；
（2）
：菱形的对角线互相垂直且平分．因为p真q真．所以
为真命题；
（3）
：35是15的倍数且是7的倍数．因为p假q真，所以
为假命题．
例2、用逻辑联结词“且”改写下列命题，并判断它们的真假：
（1）1既是奇数，又是素数；
（2）2和3都是素数．
答案：
（1）改写为：1既是奇数且1是素数，因为1是素数为假命题，所以这个命题为假命题；
（2）改写为：2是素数且3是素数，因为“2是素数”与“3是素数”都是真命题，所以这个命题是真命题．
思考：下列三个命题间有什么关系？
（1）27是7的倍数；
（2）27是9的倍数；
（3）27是7的倍数或是9的倍数．
2、p或q
一般地，用逻辑联结词“或”把命题p和命题q联结起来，就得到一个新命题，记作：
，读作：p或q．
规定：当p、q两个命题中有一个是真命题时，
是真命题；当p、q都是假命题时，
是假命题．即：全假为假，有真即真．
此处原理类似于物理学中并联电路：
开关的闭合与断开对应两个命题的真假，只有在两个开关都断开时电路才断开．
例3、判断下列命题的真假：
（1）2≤2；
（2）集合A是
的子集或是
的子集；
（3）周长相等的两个三角形全等或面积相等的两个三角形全等．
答案：
（1）命题“2≤2”是
、
用“或”联接后构成的命题，因为p是真命题，所以这个命题是真命题；
（2）命题“集合A是
的子集或是
的子集”是由命题：
p：集合A是
的子集、q：集合A是
的子集用“或”联接而成，因为q是真命题，所以这个命题为真命题；
（3）命题：“周长相等的两个三角形全等或面积相等的两个三角形全等”是由两个命题用或联接而成，因为两个命题“周长相等的两个三角形全等”与“面积相等的两个三角形全等”都为假命题，所以这个命题为假命题．
思考：如果
为真命题，那么
一定是真命题吗？反之，如果
为真命题，那么
一定是真命题吗？
答案：
如果
为真命题，则p、q都是真命题，从而
一定是真命题；反之，如果
为真命题，只能得到p、q中至少有一个是真命题，从而
不一定是真命题．
注意：
逻辑联结词中的“或”相当于集合中的“并集”，它与日常用语中的“或”的含义不同．日常用语中的“或”是两个中任选一个，不能都选，而逻辑联结词中的“或”，可以是两个都选，但又不只（备注：视频中漏掉了“只”字）是两个都选，而是两个中至少选一个，因此，有三种可能的情况．
逻辑联结词中的“且”相当于集合中的“交集”即两个必须都选．
思考：下列命题间有什么关系？
（1）35能被5整除；
（2）35不能被5整除．
3、非p
一般地，对一个命题p全盘否定，就得到一个新命题，记作：
p，读作“非p”或“p的否定”．
若p是真命题，则
必是假命题；若p是假命题，则
必是真命题．
“非”命题最常见的几个正面词语的否定：
正面 |
|
|
是 |
都是 |
至多有一个 |
至少有一个 |
任意的 |
所有的 |
否定 |
|
≤ |
不是 |
不都是 |
至少有两个 |
一个也没有 |
某个 |
某些 |
例4、写出下列命题的否定，并判断它们的真假：
（1）p：
是周期函数；
（2）p：3<2；
（3）p：空集是集合A的子集；
（4）p：
是无理数；
（5）p：x＝2且y＝3．
答案：
（1）
p：
不是周期函数．命题p为真命题，
p是假命题；
（2）
p：
．命题p为假命题，
p是真命题；
（3）
p：空集不是集合A的子集．命题p为真命题，
p是假命题；
（4）
p：
不是无理数．命题p为真命题，
p是假命题；
（5）
p：
例5、分别指出下列命题的形式及构成它的简单命题．
（1）24既是8的倍数，又是6的倍数；
（2）李强是篮球运动员或跳水运动员；
（3）平行线不相交．
答案：
（1）该命题是
形式，简单命题是p：24既是8的倍数，q：24是6的倍数；
（2）该命题是
形式，简单命题是p：李强是篮球运动员，q：李强是跳水运动员；
（3）该命题是
形式，简单命题是p：平行线相交．
例6、已知a>0，a≠1，设p：函数y＝loga(x＋1)在(0，＋∞)上单调递减；q：曲线y＝x2＋(2a－3)x＋1与x轴交于不同的两点．如果p且q为假命题，p或q为真命题，求a的取值范围．
解：
若p为真，则0<a<1．若q为真，则x2＋(2a－3)x＋1=0有两个不同实数解．
∴Δ=(2a－3)2－4>0解得a<
或a>
．
∵p且q为假，p或q为真，∴p与q中有且只有一个为真命题．
(1)当p真q假时，则
．
(2)当p假q真时，则
，又
，∴
．
综上所述，a的取值范围为[
，1)∪(
，＋∞)．
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