| 全称量词和存在量词 |
主编：黄冈中学数学集体备课组
思考：下列命题中含有哪些特殊的量词？
（1）对所有的实数x，都有x2≥0；
（2）存在实数x，满足x2≥0；
（3）至少有一个实数x，使得x2－2=0成立；
（4）存在有理数x，使得x2－2=0成立；
（5）对于任何自然数n，有一个自然数s 使得 s=n×n；
（6）有一个自然数s 使得对于所有自然数n，有s=n×n；
上述命题中含有：“所有的”、“任何”等表示全体的量词，还有“存在”、“至少有一个”、“有一个”等表示部分的量词．
1、全称量词：短语“对所有的”“对任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词．符号：
．
全称命题：含有全称量词的命题．
例如：对任意的
，
是奇数；所有的正方形都是矩形都是全称命题．
常见的全称量词还有：“一切”、“每一个”、“任给”、“所有的”等．
通常，将含有变量x的语句用p(x)、q(x)、r(x)表示，变量x的取值范围用M表示．
全称命题“对M中任意一个x，有p(x)成立”简记为：
，p(x)，读作：对任意x属于M，有p(x)成立．
2、存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词．符号：
．
特称命题：含有存在量词的命题．
例如：有的平行四边形是菱形；有一个素数不是奇数．
常见的存在量词还有：“有些”、“有一个”、“对某个”、“有的”等．
特称命题“存在M中的一个x0，使
成立”．简记为：
，读作：存在一个
属于M，使
成立．
例1、判断下列语句是全称命题，还是特称命题：
(1)凸多边形的外角和等于360°；
(2)有的向量方向不定；
(3)对任意角α，都有sin2α＋cos2α=1；
(4)有些素数的和仍是素数；
(5)若一个四边形是菱形，则这个四边形的对角线互相垂直．
答案：
(1)可以改写为所有的凸多边形的外角和等于360°，故为全称命题．
(2)含有存在量词“有的”，故是特称命题．
(3)含有全称量词“任意”，故是全称命题．
(4)含有存在量词“有些”，故为特称命题．
(5)若一个四边形是菱形，也就是所有的菱形，故为全称命题．
例2、判断下列全称或特称命题的真假．
（1）
x∈R，x2＋2>0；
（2）存在两个相交平面垂直于同一条直线；
（3）
x∈N，x4≥1；
（4）
；
（5）有些数的平方小于0．
答案：
（1）由于
x∈R，都有x2≥0，因而有x2＋2≥2>0，即x2＋2>0．所以命题“
x∈R，x2＋2>0”为真．
（2）垂直于一条直线的两个平面是互相平行的，因此不存在两个相交的平面垂直于同一条直线，所以命题为假；
（3）由于0∈N，当x=0时，x4≥1不成立．所以命题“
x∈N，x4≥1”为假．
(4)
时符合条件，所以命题为真；
（5）所有数的平方都非负，所以没有数的平方小于
，命题为假．
思考：写出下面命题的否定：
（1）所有的矩形都是平行四边形；
（2）
问：这些命题和它们的否定在形式上有什么变化？
答案：
上面命题都是全称命题，即具有“
，p(x)”的形式．
其中，命题（1）的否定是：“并非所有的矩形都是平行四边形”，也就是说“存在一个矩形不是平行四边形”．
命题（2）的否定是：“并非所有的x∈R，x2－2x＋1≥0”，也就是说有一个x∈R，x2－2x＋1<0．
3、全称命题的否定
一般来说：对于含有一个量词的全称命题的否定，有下列结论：
全称命题p：
，p(x)
它的否定
：
，
也就是说全称命题的否定是特称命题．
例3、写出下列全称命题的否定：
（1）p：所有能被3整除的整数都是奇数；
（2）p: 对任意的
，都有
；
（3）p：所有一元二次方程在区间［－1，1］内都有近似解．
答案：
（1）
：存在一个能被3整除的整数不是奇数；
（2）
：存在
，使得
；
（3）
：存在一元二次方程在区间［－1，1］内没有近似解．
思考：写出下列命题的否定：
（1）有些实数的绝对值是正数；
（2）
x∈R，x2＋1<0．
答案：
上述命题都是特称命题，即具有形式：“
，
”．
（1）的否定不是“有些实数的绝对值不是正数”，而是“所有实数的绝对值都不是正数”，因为前者只否定了一部分，不确定是否排除有其它的实数的绝对值是正数，故应该是后者．
（2）的否定是“不存在x∈R，x2＋1<0”，也就是说“
4、特称命题的否定：
一般来说：对于含有一个量词的特称命题的否定，有下列结论：
特称命题p：
，
它的否定
：
，
（x）
也就是说特称命题的否定是全称命题．
例4、写出下列特称命题的否定：
（1）p：存在一个实数，使
；
（2）p：有的三角形是等边三角形；
（3）p：存在一个四边形，它的对角线互相垂直且平分．
答案：
（1）
：任意实数
，都有
；
（2）
：任何三角形都不是等边三角形；
（3）
：对于所有的四边形，它的对角线不可能互相垂直或平分．
例5、写出下列命题的否定并判断它们的真假：
（1）p：所有自然数的平方是正数；
（2）p：
x∈R，x2＋x＋1>0；
（3）p：存在平行四边形，它的对边相等；
（4）p：
x∈R，x2－x＋1=0．
答案：
（1）┑p：有的自然数的平方不是正数，为真命题；
（2）┑p：
∈R，
，为假命题；
（3）┑p：任意的平行四边形，它的对边不相等，为假命题；
（4）
例6、写出下列命题的非命题与否命题，并判断其真假性．
（1）p：若x＞y，则5x＞5y；
（2）p：若x2＋x<2，则x2－x<2；
（3）p：正方形的四条边相等；
（4）p：已知a，b为实数，若x2＋ax＋b≤0有非空实解集，则a2－4b≥0．
解：
（1）┑p：若 x＞y，则5x≤5y，假命题，
否命题：若x≤y，则5x≤5y，真命题；
（2）┑p：若x2＋x<2，则x2－x≥2，假命题，
否命题：若x2＋x≥2，则x2－x≥2，假命题；
（3）┑p：存在一个四边形，它是正方形，但四条边中至少有两条边不相等，假命题，
否命题：若一个四边形不是正方形，则它的四条边不相等，假命题；
（4）┑p：存在两个实数a，b，虽然满足x2＋ax＋b≤0有非空实解集，但使a2－4b<0，假命题．
否命题：已知a，b为实数，若x2＋ax＋b≤0没有非空实解集，则a2－4b<0．真命题．
说明：命题的否定与否命题是完全不同的概念：
1、任何命题均有否定，无论是真命题还是假命题；而否命题仅针对命题“若p则q”提出来的．
2、命题的否定（非）是原命题的矛盾命题，两者的真假性必然是一真一假，一假一真；而否命题与原命题可能是同真同假，也可能是一真一假．
3、原命题“若p则q”的形式，它的非命题“若p，则┓q”，而它的否命题为“若┓p，则┓q”，既否定条件又否定结论．
例7、已知函数f(x)=x2－2x＋5．
(1)是否存在实数m，使不等式m＋f(x)>0对于任意x∈R恒成立，并说明理由．
(2)若存在一个实数x0，使不等式m－f(x0)>0成立，求实数m的取值范围．
解：
(1)不等式m＋f(x)>0可化为m>－f(x)，
即m>－x2＋2x－5=－(x－1)2－4．
要使m>－(x－1)2－4对于任意x∈R恒成立，
只需m>－4即可．
故存在实数m，使不等式m＋f(x)>0对于任意x∈R恒成立，此时，只需m>－4．
(2)不等式m－f(x0)>0可化为m>f(x0)，若存在一个实数x0，使不等式m>f(x0)成立，只需m>f(x)min．
又f(x)=(x－1)2＋4，∴f(x)min=4，
∴m>4．
所以，所求实数m的取值范围是(4，＋∞)．
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