| 曲线与方程 |
主编：黄冈中学数学集体备课组
思考：
（1）以
为圆心，r为半径的圆的方程是
，请探讨一下圆上的点的坐标与方程的解的关系．
答案：
圆上任意一点
的坐标都符合方程，即有
；反之，若某点
符合
，则此点
一定在圆上．
（2）求如图所示的AB的垂直平分线
的方程．
答案：
易知AB垂直平分线过原点，斜率为1，所以AB的垂直平分线的方程为
．AB的垂直平分线上任意一点
的坐标都符合方程
，反之符合方程
的解
构成的点都在AB的垂直平分线上．
（3）下列方程能表示（2）中的直线吗？为什么？
①
；②
；③|x|－y＝0
答案：
①中，曲线C上的点不全都是方程
的解，如点(－1,－1)等，即不符合“曲线上的点的坐标都是方程的解”这一结论；
②中，尽管“曲线C上的坐标都是方程的解”，但以方程
的解为坐标的点不全在曲线C上，如点(2，－2)等，即不符合“以方程的解为坐标的点都在曲线上”这一结论；
③中，类似①②得出不符合“曲线上的点的坐标都是方程的解”，“以方程的解为坐标的点都在曲线上”．
所以我们要方程是曲线的方程，曲线是表示方程的曲线，可以给出如下的定义：
1、“曲线的方程”和“方程的曲线”
在直角坐标系中，如果某曲线C上的点与一个二元方程的实数解建立了如下关系：
(1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解；（纯粹性）
(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点．（完备性）
那么，这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线．
说明：（1）曲线的方程：反映的是图形所满足的数量关系；方程的曲线：反映的是数量关系所表示的图形．
（2）两者的关系：点在曲线上
点的坐标适合此曲线的方程，即曲线上所有的点的集合与曲线方程的解集能够一一对应．
（3）如果曲线C的方程是
，那么点
在曲线上的充要条件是
．
例1、解答下列问题，且说出各依据了曲线的方程和方程的曲线定义中的哪一个关系？
(1)点
是否在方程为
的圆上？
(2)已知方程为
的圆过点
，求m的值．
答案：
（1）依据关系(2)，可知点
在圆上，
不在圆上，用到以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点．
（2）依据关系(1)，求得
，用到曲线上的点的坐标都是这个方程的解．
例2、(1)举出一个方程与曲线，使它们之间的关系符合条件①而不符合条件②；
(2)举出一个方程与曲线，使它们之间的关系符合条件②而不符合条件①．
(3)举出一个方程与曲线，使它们之间的关系既符合条件②也符合条件①．
答案：
（1）方程
，曲线如上图左，符合条件①而不符合条件②；
（2）方程
（
），曲线如上图中，符合条件②而不符合条件①；
（3）方程
（
），曲线如上图右，符合条件②也符合条件①．
例3、点M到两条互相垂直的直线的距离相等，求点M的轨迹方程．
解：
取已知两条互相垂直的直线为坐标轴，建立直角坐标系，如图所示，设点M的坐标为
，点M的轨迹就是到坐标轴的距离相等的点的集合P＝｛M||MR|＝|MQ|｝，其中Q、R分别是点M到x轴、y轴的垂线的垂足．
因为点M到x轴、y轴的距离分别是它的纵坐标和横坐标的绝对值，所以条件|MR|＝|MQ|可写成|
|＝|
|即
±
＝0 ①
下面证明①式是所求轨迹的方程
(1)由求方程的过程可知，曲线上的点的坐标都是方程①的解；
(2)设点
的坐标
是方程①的解，那么x1±y1＝０，即|x1|＝|y1|，而|x1|、|y1|正是点
到纵轴、横轴的距离，因此点
到这两条直线的距离相等，点是曲线上的点．
由(1)(2)可知，方程①是所求轨迹的方程，图形如图所示．
2、求简单的曲线方程的一般步骤：
（1）建立适当的坐标系，用有序实数对表示曲线上任意一点M的坐标；
（2）写出适合条件P的点M的集合；
（3）用坐标表示条件P（M），列出方程；
（4）化方程为最简形式；
（5）证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点．
一般的，化简前后的方程的解集是相同的，步骤（5）可以省略不写，如有特殊情况，可以适当说明．另外可以根据情况省略步骤（2），直接列出曲线方程．
例4、已知一曲线是与两个定点
、
距离的比为
的点的轨迹，求曲线的方程．
解：
在给定的坐标系里，设
是曲线上的任意一点，点M属于集合
，
代入坐标得
，
化简得
，即为所求的曲线方程．
3、求轨迹方程的常见方法：
（1）直接法：通过建立适当的坐标系，设点、列式、化简从而得出轨迹方程．如例4就是直接法的应用．
（2）几何法：指利用平面几何或解析几何知识分析图形性质，发现动点的运动规律和要满足的条件，从而得到动点的轨迹方程．
例5、已知点
、
，过
、
作两条互相垂直的直线
和
，求
和
的交点
的轨迹方程．
解：
由平面几何知识可知，当
为直角三角形时，点
的轨迹是以
为直径的圆，此圆的圆心即为
的中点
，半径为
（备注：老师讲解时出现口误，应该是
），方程为
．
故
的轨迹方程为
．
（3）相关点法：当题目中有多个动点时，将其他动点（备注：视频中删除此处的P）的坐标用所求动点P（备注：视频中加上P）的坐标来表示，再代入到其他动点要满足的条件或轨迹方程中，整理即得到动点P的轨迹方程，称之代入法，也称相关点法、转移法．
例6、已知△ABC的顶点
，顶点
在抛物线
上运动，求
的重心
的轨迹方程．
解：
设
，
．
又G为△ABC的重心，
∴有3y＝(3x＋2)2（备注：视频中x0改为x）
．
又A、B、C要构成三角形，则
．
∴所求的轨迹方程为
．
（4）交轨法：利用两个轨迹的交点建立等式，消去参数得到所求方程．
例7、如图，长度为1的线段AB在x轴上移动，点P（0，1）与A点连成直线PA，点Q（1，2）与B点连成直线QB，求直线PA与直线QB交点的轨迹方程．
解：
如图，设PA与QB的交点为M（x，y），A（a，0），则B（a＋1，0）．
由截距式方程，得PA的方程为
，即x＋ay＝a．
由两点式方程，得QB的方程为
，即2x＋ay－2a－2＝0（a≠0）．
两直线的交点就是M，故M是
的解，
消去参数a，得M的轨迹方程为（2－x）y＝2（x≠0）．
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