曲线与方程同步测试
一、选择题
1、如果曲线C上的点的坐标（x，y）都是方程F（x，y）＝0的解，那么（ ） A．以方程F（x，y）＝0的解为坐标的点都在曲线C上 B．以方程F（x，y）＝0的解为坐标的点，有些不在曲线C上 C．不在曲线C上的点的坐标都不是方程F（x，y）＝0的解 D．坐标不满足F（x，y）＝0的点不在曲线C上 2、方程为（3x－4y－12)·［log2(x＋2y)－2］＝0的曲线经过点A（0，－3）、B（0，4）、C（）、D（4，0）中的（ ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 3、下列命题正确的是（ ） A．过点A（2，0）平行y轴的直线l的方程是|x|＝2 B．到两坐标轴距离相等的点的轨迹方程是y＝x C．方程的曲线是单位圆 D．方程y＝0（－1≤x≤1）的曲线是以A（－1，0）和B（1，0）为端点的线段（含端点） 4、方程表示的曲线为（ ） A．两条线段 B．两条直线 C．两条射线 D．一条射线和一条线段 5、“点M在曲线y＝|x|上”是“点M到两坐标轴距离相等”的（ ） A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分又不必要条件 6、方程x2＋xy＝x表示的曲线是（ ） A．一个点 B．一条直线 C．两条直线 D．一个点和一条直线
1、如果曲线C上的点的坐标（x，y）都是方程F（x，y）＝0的解，那么（ ）
A．以方程F（x，y）＝0的解为坐标的点都在曲线C上 B．以方程F（x，y）＝0的解为坐标的点，有些不在曲线C上 C．不在曲线C上的点的坐标都不是方程F（x，y）＝0的解 D．坐标不满足F（x，y）＝0的点不在曲线C上
A．以方程F（x，y）＝0的解为坐标的点都在曲线C上
B．以方程F（x，y）＝0的解为坐标的点，有些不在曲线C上
C．不在曲线C上的点的坐标都不是方程F（x，y）＝0的解
D．坐标不满足F（x，y）＝0的点不在曲线C上
2、方程为（3x－4y－12)·［log2(x＋2y)－2］＝0的曲线经过点A（0，－3）、B（0，4）、C（）、D（4，0）中的（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
A．0个 B．1个
C．2个 D．3个
3、下列命题正确的是（ ）
A．过点A（2，0）平行y轴的直线l的方程是|x|＝2 B．到两坐标轴距离相等的点的轨迹方程是y＝x C．方程的曲线是单位圆 D．方程y＝0（－1≤x≤1）的曲线是以A（－1，0）和B（1，0）为端点的线段（含端点）
A．过点A（2，0）平行y轴的直线l的方程是|x|＝2
B．到两坐标轴距离相等的点的轨迹方程是y＝x
C．方程的曲线是单位圆
D．方程y＝0（－1≤x≤1）的曲线是以A（－1，0）和B（1，0）为端点的线段（含端点）
4、方程表示的曲线为（ ）
A．两条线段 B．两条直线 C．两条射线 D．一条射线和一条线段
A．两条线段 B．两条直线
C．两条射线 D．一条射线和一条线段
5、“点M在曲线y＝|x|上”是“点M到两坐标轴距离相等”的（ ）
A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分又不必要条件
A．充要条件 B．必要不充分条件
C．充分不必要条件 D．既不充分又不必要条件
6、方程x2＋xy＝x表示的曲线是（ ）
A．一个点 B．一条直线 C．两条直线 D．一个点和一条直线
A．一个点 B．一条直线
C．两条直线 D．一个点和一条直线
提示：
1、条件中曲线C上的点的坐标（x，y）都是方程F（x，y）＝0的解，满足了曲线和方程的概念的条件（1），而且阐明曲线C上没有坐标不满足方程F（x，y）＝0的点，也就是说，坐标不满足F（x，y）＝0的点不在曲线C上．故选D．由条件无法判定满足曲线和方程的概念的条件（2），从而选项A、B、C是错误的．
2、由对数的真数大于0，得x＋2y＞0，∴A(0,－3)、C()不合要求；将B（0，4）代入方程检验，不合要求；将D（4，0）代入方程检验，合乎要求．故选B．
3、方程|x|＝2的一组解（－2，1）显然不在l上，A错；轨迹上的点（－1，1）不满足方程y＝x，B错；单位圆上存在点（0，－1）不满足方程，C错；由以上可排除A、B、C，选D．
4、方程可变为．
5、y＝|x||y|＝|x|成立，但逆推不成立．
6、∵x2＋xy＝x，∴x2＋xy－x＝0即x（x＋y－1）＝0，即x＝0或x＋y－1＝0表示两条直线．
二、填空题
7、到直线l：3x＋4y－5＝0的距离等于1的点的轨迹方程是__________． 8、两条直线ax＋y＋1＝0和x－ay－1＝0（a为参数，且a≠±1）的交点的轨迹方程是__________． 9、若命题“曲线S上的点的坐标满足方程F（x，y）＝0”是正确的，则下列命题： ①方程F（x，y）＝0的曲线是S； ②曲线S是方程F（x，y）＝0的轨迹； ③满足方程F（x，y）＝0的点都在曲线S上； ④曲线S是方程F（x，y）＝0的轨迹的子集； ⑤以方程F（x，y）＝0的解为坐标的点不一定在曲线S上． 其中错误的命题序号为__________．
7、到直线l：3x＋4y－5＝0的距离等于1的点的轨迹方程是__________．
8、两条直线ax＋y＋1＝0和x－ay－1＝0（a为参数，且a≠±1）的交点的轨迹方程是__________．
9、若命题“曲线S上的点的坐标满足方程F（x，y）＝0”是正确的，则下列命题：
①方程F（x，y）＝0的曲线是S； ②曲线S是方程F（x，y）＝0的轨迹； ③满足方程F（x，y）＝0的点都在曲线S上； ④曲线S是方程F（x，y）＝0的轨迹的子集； ⑤以方程F（x，y）＝0的解为坐标的点不一定在曲线S上． 其中错误的命题序号为__________．
①方程F（x，y）＝0的曲线是S；
②曲线S是方程F（x，y）＝0的轨迹；
③满足方程F（x，y）＝0的点都在曲线S上；
④曲线S是方程F（x，y）＝0的轨迹的子集；
⑤以方程F（x，y）＝0的解为坐标的点不一定在曲线S上．
其中错误的命题序号为__________．
7、3x＋4y＝0或3x＋4y－10＝0
解析：所求轨迹是l的两条平行线，设它们的方程为3x＋4y＋m＝0，则由它们到l的距离为1有．解得m＝0或m＝－10．∴所求方程为3x＋4y＝0或3x＋4y－10＝0．
8、x2＋y2－x＋y＝0
解析：交轨法，联立方程组
由①有 ③
将③代入②整理得x2＋y2－x＋y＝0，即为所求．
9、①②③
解析：由题设知，曲线S上的点必定满足方程F（x，y）＝0，但满足方程F（x，y）＝0的点不一定在曲线S上，∴①、②、③错误，④⑤正确．
三、解答题
10、△ABC的顶点A固定，点A的对边BC的长是2a，边BC上的高的长是b，边BC沿一条定直线移动，求△ABC外心的轨迹方程．
10、解：如图，以BC所在定直线为x轴，过A作x轴的垂线为y轴，建立直角坐标系，则A点的坐标为（0，b）．设△ABC的外心为M（x，y）．
作MN⊥BC于N，则MN是BC的垂直平分线．
∵|BC|＝2a，∴|BN|＝a，|MN|＝|y|，
又M是△ABC的外心，∴M∈{M||MA|＝|MB|}．
化简得所求轨迹方程为x2－2by＋b2－a2＝0．
11、过点（3，－2）作圆x2＋y2＝4的切线，切点分别为T1，T2，求直线T1T2的方程．
11、解：设T1（x1，y1），T2（x2，y2），
则过T1，T2的圆x2＋y2＝4的切线方程分别为x1x＋y1y＝4，x2x＋y2y＝4．
∵点（3，－2）在切线上，
∴点T1，T2在直线3x－2y＝4上，而过T1，T2的直线有且只有一条，∴3x－2y＝4即为所求．
12、如图，已知圆A的半径是2，圆外一定点N与圆A上的点的最短距离为6，过动点P作圆A的切线PM（M为切点），连结PN使得，试建立适当的坐标系，求动点P的轨迹．
12、解：以AN所在直线为x轴，AN的中垂线为y轴建立平面直角坐标系如图所示，则A（－4，0），N（4，0），设P（x，y）
由，|PM|2＝|PA|2－|MA|2得：2|PN|2＝|PA|2－4，
代入坐标得：2[（x－4）2＋y2]＝（x＋4）2＋y2－4，
整理得：x2＋y2－24x＋20＝0，即（x－12）2＋y2＝124，
所以动点P的轨迹是以点（12，0）为圆心，以为半径的圆．
-END-
）、D（4，0）中的
的曲线是单位圆
表示的曲线为
)不合要求；将B（0，4）代入方程检验，不合要求；将D（4，0）代入方程检验，合乎要求．故选B．
，C错；由以上可排除A、B、C，选D．
．
|y|＝|x|成立，但逆推不成立．
．解得m＝0或m＝－10．∴所求方程为3x＋4y＝0或3x＋4y－10＝0．
③
，试建立适当的坐标系，求动点P的轨迹．
，|PM|
为半径的圆．