| 椭圆及其标准方程 |
主编：黄冈中学数学集体备课组
动画见视频(备注：视频中数据有些小问题，但不影响椭圆性质的研究）
1、椭圆的定义：
平面内到两个定点F1、F2的距离之和等于常数（大于|F1F2|）的点的轨迹叫做椭圆．定点F1、F2称为椭圆的焦点．F1、F2间的距离|F1F2|称为焦距．
注意问题：（1）平面内是一个大前提，不可少；
（2）距离之和这个常数要大于两个定点间的距离．
2、标准方程的推导
由椭圆的定义，可以知道它的基本几何特征，但对椭圆还具有哪些性质，我们还一无所知，所以需要用坐标法先建立椭圆的方程．如何建立椭圆的方程？根据求曲线方程的一般步骤，可分：(1)建系设点；(2)点的集合；(3)代数方程；(4)化简方程等步骤．
推导过程：
以过F1、F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系．
设M（x，y）是椭圆上任意一点，椭圆的焦距|F1F2|为2c（c>0）、正常数为2a，则F1（－c，0）、F2（c，0）．
根据椭圆的定义可得
的集合：
，
代入点的坐标得
，
，
两边平方整理得：
，
再次平方得
，
两边同时除以
得：
，
如果建立平面直角坐标系时，椭圆的焦点坐标在
轴上，焦点为
，则同上可求得椭圆方程为
．
由椭圆的定义可知，
，
，进而引进
，此时
，从而得到
．
椭圆的标准方程：
焦点在x轴：
，焦点F1（－c，0）、F2（c，0）．
焦点在y轴：
，焦点 F1（0，－c）、F2（0，c）．
例1、下列方程是否表示椭圆，如果是，判断它的焦点在哪个坐标轴上？并写出
、
的值及焦点坐标．
；
；
；
．
解：
（1）焦点在
轴上，
，
，焦点坐标为
；
（2）方程化为
，不是椭圆的标准方程；
（3）方程化为
，焦点在y轴上，
，
，焦点坐标为
；
（4）
，∴焦点在y轴上，∴
，
，焦点坐标为
．
例2、求适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1)两个焦点的坐标分别是(0，－2)、(0，2)，并且椭圆经过点
；
解：
椭圆的焦点在y轴上，设椭圆方程为
．
．
∴椭圆的标准方程为
．
(2)两个焦点的距离为8，椭圆上一点P到两焦点的距离和等于10；
解：
由题意知：2c=8，2a=10，∴a=5，c=4，∴b2=25－16=9．
当焦点在x轴上时，椭圆的方程为
．
当焦点在y轴上时，椭圆的方程为
．
(3)中心在原点，焦点在坐标轴上，且经过两点
、
；
解：
设椭圆的方程为
（
且
），
代入点
的坐标得
解得：
，
所以椭圆的标准方程为
．
(4)经过点(2，－3)且与椭圆
具有共同的焦点．
解：
椭圆
化为标准方程为
，
其焦点坐标为
，
设椭圆的标准方程为：
（
），代入点(2，－3)得
，
解得
或
（舍），所以得到椭圆的标准方程为
．
例3、若方程
表示椭圆，则k的取值范围为__________．
解：
答案：
．
例4、设定点A（6，2），P是椭圆
上动点，求线段AP中点M的轨迹方程．
解：
设M（x，y），
．
∵
为线段
的中点，∴
，
又
在椭圆上，
，
∴点
的轨迹方程为
．
例5、如图，设△
的两个顶点
，B（a，0），顶点C在移动，且
，且k<0，试求动点C的轨迹方程．
解：
设点C（x，y），则
，
，
又
，
，
化简即可得点M的轨迹方程为
（
）．
例6、已知△ABC中，A（3，0），B（－3，0），三边AC、AB、BC的长成等差数列，求顶点C的轨迹方程．
解：
设C（x，y），由题设|AB|=6，∵AC、AB、BC三边成等差数列，
∴|AC|＋|BC|=2|AB|=12>|AB|．
根据椭圆定义，点C的轨迹是以A、B为焦点的椭圆，且2c=6，2a=12，∴c=3，a=6，b2=27．
∴顶点C的轨迹方程是
．注意椭圆与x轴的交点与A、B不能构成三角形，故顶点C的轨迹方程是
．
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