| 椭圆的简单几何性质 |
主编：黄冈中学数学集体备课组
在前面我们为了研究椭圆的性质，求出了椭圆的标准方程：
焦点在x轴：
，焦点F1（－c，0）、F2（c，0）．
焦点在y轴：
，焦点 F1（0，－c）、F2（0，c）．
现在由椭圆方程
，研究椭圆的性质：
1、范围：
从标准方程得出
，
，即有
，
，可知椭圆落在
组成的矩形中．
2、对称性：
把方程中的x换成－x方程不变，图象关于y轴对称．
把方程中的y换成－y方程不变，图象关于x轴对称．
把x，y同时换成－x，－y方程也不变，图象关于原点对称．
如果曲线具有关于x轴对称，关于y轴对称和关于原点对称中的任意两种，则它一定具有第三种对称．
原点叫椭圆的对称中心，简称中心．x轴、y轴叫椭圆的对称轴．即椭圆既是轴对称图形，又是中心对称图形．
3、顶点：
椭圆和对称轴的交点叫做椭圆的顶点，在椭圆
的方程里.
令y=0得x=±a，椭圆和x轴有两个交点
，它们是椭圆
的顶点．
令x=0得y=±b，椭圆和y轴有两个交点
，它们是椭圆
的顶点．
因此椭圆共有四个顶点：
，
，加上两焦点
共有六个特殊点.
A1A2叫椭圆的长轴，长为2a；B1B2叫椭圆的短轴，长为2b．a，b分别为椭圆的长半轴长和短半轴长．
至此我们从椭圆的方程中直接可以看出它的范围，对称性，顶点．因而只需少量描点就可以较正确的作图了．
4、离心率：
概念：椭圆焦距与长轴长之比．
定义式：
；
范围：0＜e＜1．
椭圆形状与e的关系：
，椭圆变圆，直至成为极限位置圆，此时也可认为圆为椭圆在e=0时的特例．
椭圆变扁，直至成为极限位置线段F1F2，此时也可认为线段F1F2为椭圆在e=1时的特例．
例1、已知椭圆的中心在原点，焦点在坐标轴上，长轴是短轴的三倍，且椭圆经过点P（3，0），求椭圆的方程．
解：
由题意知：a=3b，
（1）若椭圆的焦点在x轴上，则a=3，b=1，方程为
；
（2）若椭圆的焦点在y轴上，则b=3，a=9，方程为
，
所以椭圆的标准方程为
或
．
例2、在下列每组椭圆中，哪一个更接近于圆？
①9x2＋y2＝36与
；
解：
对9x2＋y2＝36，有
，∴a=6，b=2，c=
，∴
．
对
，a=4，b=
，c=2，∴
，∴e1＞e2，
∴
更接近于圆．
②x2＋9y2＝36与
．
解：
对x2＋9y2＝36，
，∴a=6，b=2，c=
，∴
．
对
，
∴e1＞e2，∴
更接近于圆．
例3、已知椭圆
的离心率为
，求m的值．
解：
椭圆方程化为
，易知m≠5．
①当0<m<5时，焦点在x轴上，
．
②当m>5时，焦点在y轴上，
．
例4、如图，设M（x，y）与定点F（c，0）的距离和它到直线l：
的距离d的比是常数
，求点M的轨迹方程．
解：
点M的集合为
，
所以有：
，化简得点M的轨迹方程为
．
说明：
可以看出这是椭圆的方程，即点M（x，y）与定点F（c，0）的距离和它到定直线l：
的距离比是常数
，则点M的轨迹方程是椭圆．其中定点F（c，0）是焦点，定直线l：
是相应于F的准线，常数
是离心率；由椭圆的对称性，另一焦点
，相应于F′的准线l′：
．我们称这个轨迹的定义为椭圆的第二定义．
例5、已知中心在原点，焦点在x轴上的椭圆与直线x＋y－1=0交于A、B两点，M为AB中点，OM的斜率为0.25，椭圆的短轴长为2，求椭圆的方程．
解：
由题意，可设椭圆方程为
，
设
，
，
，
由
，得
，
（备注：视频中应该是4a4），
∴
，
．
∴M的坐标为
，∴有
．
∴椭圆的方程为
．
例6、已知椭圆4x2＋y2=1及直线y=x＋m．
（1）当直线和椭圆有公共点时，求实数m的取值范围；
（2）求被椭圆截得的最长弦所在的直线的方程．
解：
（1）由
，消去y，整理得5x2＋2mx＋m2－1=0，
要有公共点，则
，∴4m2－20（m2－1）=20－16m2≥0．
解得
．
（2）设交点为
，
当m2=0时，弦长L的最大值为
．
∴直线方程为y=x．
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