椭圆的简单几何性质同步测试
一、选择题
1、已知F1、F2为椭圆的两个焦点，过F2作椭圆的弦AB，若△AF1B的周长为16，椭圆离心率，则椭圆的方程是（ ） 2、已知F1、F2是椭圆的两个焦点，满足的点M总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是（ ） 3、过椭圆的左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于点P，F2为右焦点，若∠F1PF2=60°，则椭圆的离心率为（ ） 4、过椭圆的左焦点斜率为－1的直线被椭圆截得的弦长为（ ） A． B．2 C． D．5 5、若点O和点F分别为椭圆的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则的最大值为（ ） A．2 B．3 C．6 D．8
1、已知F1、F2为椭圆的两个焦点，过F2作椭圆的弦AB，若△AF1B的周长为16，椭圆离心率，则椭圆的方程是（ ）
2、已知F1、F2是椭圆的两个焦点，满足的点M总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是（ ）
3、过椭圆的左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于点P，F2为右焦点，若∠F1PF2=60°，则椭圆的离心率为（ ）
4、过椭圆的左焦点斜率为－1的直线被椭圆截得的弦长为（ ）
A． B．2 C． D．5
5、若点O和点F分别为椭圆的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则的最大值为（ ）
A．2 B．3 C．6 D．8
提示：
1、由椭圆定义知4a=16，∴a=4，由，∴b2=a2－c2=4，∴椭圆方程为．
2、要满足题意只有当|F1F2|为直径的圆与椭圆没有交点，即2c＜2b．∴c2＜b2即c2＜a2－c2．．
3、
．
4、可求得直线方程为y=－x－1，联立方程组消去y整理得7x2＋8x－8=0．
选C．
5、由题意，F（－1，0），设点P（x0，y0），则有
此二次函数对应的抛物线的对称轴为x0=－2，因为－2≤x0≤2，所以当x0=2时，
二、填空题
6、若椭圆的离心率为，则m的值为__________． 7、椭圆在x轴上的一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直，且焦距为6，则椭圆的标准方程为_________． 8、已知F1为椭圆的左焦点，A、B分别为椭圆的右顶点和上顶点，P为椭圆上的点，当PF1⊥F1A，PO∥AB（O为椭圆中心）时，则椭圆的离心率为__________． 9、如图，已知点P是以F1、F2为焦点的椭圆上一点，若PF1⊥PF2，tan∠PF1F2＝，则此椭圆的离心率是________．
6、若椭圆的离心率为，则m的值为__________．
7、椭圆在x轴上的一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直，且焦距为6，则椭圆的标准方程为_________．
8、已知F1为椭圆的左焦点，A、B分别为椭圆的右顶点和上顶点，P为椭圆上的点，当PF1⊥F1A，PO∥AB（O为椭圆中心）时，则椭圆的离心率为__________．
9、如图，已知点P是以F1、F2为焦点的椭圆上一点，若PF1⊥PF2，tan∠PF1F2＝，则此椭圆的离心率是________．
6、
解析：分两种情况讨论：若焦点在x轴上，；若焦点在y轴上，
7、
解析：设方程为（a>b>0）．由已知，，，所以．故所求方程为．
8、
解析：
三、解答题
10、椭圆的右焦点为F，其右准线与x轴的交点为A，在椭圆上存在点P满足线段AP的垂直平分线过点F，求椭圆离心率的取值范围．
10、解：椭圆上存在点P，使得线段AP的垂直平分线过点F，即F点到P点与A点的距离相等．而|FA|＝；|PF|∈[a－c，a＋c]，于是∈[a－c，a＋c]，即ac－c2≤b2≤ac＋c2．
∴，又e∈（0，1），故e∈．
11、已知F1，F2为椭圆（a＞b＞0）的左、右两个焦点，P（3，4）为椭圆上一点，且PF1⊥PF2，求椭圆的标准方程．
12、已知椭圆，求过点且被平分的弦所在的直线方程．
12、解：分析知直线的斜率存在，设所求直线的斜率为k，则直线方程为．
代入椭圆方程，并整理得．
由韦达定理得．
∵是弦中点，∴．故得．
所以所求直线方程为．
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的两个焦点，过F
，则椭圆的方程是
的点M总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是
的左焦点F
的左焦点斜率为－1的直线被椭圆截得的弦长为
B．2 C．
D．5
的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则
的最大值为
，∴b
．
．
．
消去y整理得7x
的离心率为
，则m的值为__________．
上一点，若PF
，则此椭圆的离心率是________．
；若焦点在y轴上，
（a>b>0）．由已知，
，
，所以
．故所求方程为
．
的右焦点为F，其右准线与x轴的交点为A，在椭圆上存在点P满足线段AP的垂直平分线过点F，求椭圆离心率的取值范围．
；|PF|∈[a－c，a＋c]，于是
∈[a－c，a＋c]，即ac－c
，又e∈（0，1），故e∈
．
（a＞b＞0）的左、右两个焦点，P（3，4）为椭圆上一点，且PF
，求过点
且被
平分的弦所在的直线方程．
．
．
．
是弦中点，∴
．故得
．
．