| 双曲线及其标准方程 |
主编：黄冈中学数学集体备课组
1、双曲线的定义：平面内到两定点F1，F2的距离的差的绝对值为常数（小于|F1F2|）的动点的轨迹叫双曲线，即
．
这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做焦距，记为2c．
说明：（1）“平面内”是大前提；
（2）“距离的差的绝对值”不可少，没有“绝对值”则只能表示双曲线的一支；
（3）“常数小于|F1F2|”，若大于|F1F2|则点的轨迹不存在；若等于|F1F2|则轨迹为两条射线．
2、双曲线的标准方程：
根据双曲线的定义推导双曲线的标准方程：推导标准方程的过程就是求曲线方程的过程，可根据求动点轨迹方程的步骤，求出双曲线的标准方程．过程如下：（1）建系设点；（2）点的集合；（3）代数方程；（4）化简方程等步骤．
取过焦点F1，F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴．设M（x，y）为双曲线上的任意一点，双曲线的焦距是2c（c＞0），则
，又设M与
距离之差的绝对值等于2a（常数），2a＜2c．
，
，
化简，得：
．
由定义
，
．
令
代入得：
．
若坐标系的选取不同，焦点在y轴上，则焦点是
，同理得到
．
双曲线的标准方程为：
（1）
，焦点在x轴上，焦点是
；
（2）
，焦点在y轴上，焦点是
．
在两个标准方程中都有
，且
，a与b的大小关系可以为
．
例1、判断下列方程是否表示双曲线，若是，求出三量a，b，c的值．
①
答案：是双曲线，
；
②
答案：是双曲线，
；
③
答案：是双曲线，
；
④
答案：是双曲线，当m＞0时，
；当m＜0时，
．
例2、已知双曲线两个焦点的坐标为
，双曲线上一点P到
的距离之差的绝对值等于6，求双曲线标准方程．
解：
由题可设双曲线方程为：
（
，
）．
易知：c=5，2a=6，∴a=3，
，
∴双曲线的标准方程为
．
变式1：已知两定点
，平面上一动点P，满足
，求点P的轨迹方程．
解：
由题意知：P点的轨迹是双曲线的右支，同上求得双曲线的方程为
，所以P点的轨迹方程是
．
变式2：已知两定点
，平面上一动点P，满足
，求点P的轨迹方程．
解：
因为
，所以点P的轨迹是分别以F1，F2为端点的两条射线，其轨迹方程是：y=0（x≤－5或x≥5）
变式3：已知双曲线的焦距为10，双曲线上一点P到两焦点F1，F2的距离的差的绝对值等于6，求双曲线的标准方程．
解：
由题意知：2c=10，2a=6，∴c=5，a=3，∴b=4．
∴当焦点在x轴上时，方程为
．
当焦点在y轴上时，方程为
．
例3、判断方程
所表示的曲线．
解：
①当
时，即当3＜k＜9时，是双曲线．
②当
时，即当k＜3（备注：视频中将x改成k）时，是椭圆．
例4、求适合下列条件的双曲线的标准方程：
，经过点（－5，2），焦点在x轴上；
解：设双曲线的方程为
．
由题意知
．
∴所求双曲线的方程为
．
例5、设双曲线与椭圆
有共同的焦点，且与椭圆相交，在第一象限的交点A的纵坐标为4，求此双曲线的方程．
解：
椭圆
的焦点为（0，－3）、（0，3）．
当A的纵坐标为4时，
．
设双曲线的方程为
．
∴双曲线的方程为
．
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