| 双曲线的简单几何性质 |
主编：黄冈中学数学集体备课组
双曲线的标准方程为：
（1）
，焦点在x轴上，焦点是
；
（2）
，焦点在y轴上，焦点是
．
在两个标准方程中都有
，且
；
a，b，c中c最大，a，b的大小关系没有要求．
类比椭圆的研究方法，我们可以根据双曲线的标准方程
（
），来研究双曲线的性质．
1、范围
由双曲线的标准方程得:
，进一步得：
，或
．这说明双曲线在不等式
，或
所表示的区域；而y的取值可以是所有实数．
2、对称性
把方程中的x换成－x方程不变，图象关于y轴对称．
把方程中的y换成－y方程不变，图象关于x轴对称．
把x，y同时换成－x，－y方程也不变，图象关于原点对称．
原点叫双曲线的对称中心，简称中心．x轴、y轴叫双曲线的对称轴．即双曲线既是轴对称图形，又是中心对称图形．
3、顶点
圆锥曲线的顶点的统一定义，即圆锥曲线的对称轴与圆锥曲线的交点叫做圆锥曲线的顶点．
在双曲线的方程里，令
，得
，因此双曲线和x轴有两个交点
，即为双曲线的两个顶点；
在双曲线的方程里，令
，得
，这个方程没有实数根，即双曲线和y轴没有交点，但我们还是把
画在y轴上；
线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长等于2a，a叫做双曲线的半实轴长；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长等于2b，b叫做双曲线的半虚轴长．
4、渐近线
直线
叫做双曲线
的渐近线；
=
（
）．
渐进线的求法：解
即得．
等轴双曲线：渐近线为
的双曲线，即a=b的双曲线．
5、离心率
双曲线的焦距与实轴长的比
叫做双曲线的离心率（
）．
双曲线形状与e的关系：
，
因此e越大，即渐近线的斜率的绝对值就大，这时双曲线的形状就从狭窄逐渐变得开阔．由此可知，双曲线的离心率越大，它的开口就越阔．
例1、图中共顶点的椭圆①、②与双曲线③、④的离心率分别为e1、e2、e3、e4，其大小关系为（ ）
A．e1<e2<e3<e4 B．e2<e1<e3<e4
C．e1<e2<e4<e3 D．e2<e1<e4<e3
解：
易知e1，e2∈（0，1），e3，e4∈（1，＋∞）．
椭圆中，
越大，椭圆越扁，
越小，椭圆越圆，所以
；
双曲线中，
越大，双曲线的开口越阔，所以
．∴e1<e2<e4<e3．
答案：C
例2、求适合下列条件的双曲线的标准方程：
（1）过点
，离心率
的双曲线的标准方程．
解：
①当双曲线焦点在x轴上时，设双曲线方程为
，
，∴标准方程为x2－4y2=1．
②当双曲线的焦点在y轴上时，设双曲线方程为
，
，无解．
∴所求双曲线的标准方程为x2－4y2=1．
（2）中心在原点，焦点在x轴上的双曲线的实轴与虚轴相等，一个焦点到一条渐近线的距离为
．
解：
由题意，设双曲线方程为
，
则c=
a，渐近线y=x．
由点F
到y=x的距离为
，得
，解得
．
∴双曲线方程为
．
例3、求与双曲线
共渐近线，且经过点
的双曲线的标准方程及离心率．
解：
双曲线
的渐近线方程为
．
①当焦点在x轴上时，双曲线可设为
，
代入
得：
，解得
，无解；
②当焦点在y轴上时，双曲线可设为
，
代入
得：
，解得
．
∴双曲线的标准方程为
，离心率
．
例4、如图，设
与定点
的距离和它到直线
：
的距离
的比是常数
（
），求点M的轨迹方程．
解：
点
的集合为
，
代入坐标有：
．
化简得
．
说明：
可以看出这是双曲线的方程，即点
与定点
的距离和它到定直线
：
的距离比是常数
，则点
的轨迹方程是双曲线．其中定点
是焦点，定直线
：
是相应于F的准线，常数
是离心率；由双曲线的对称性，另一焦点
，相应于
的准线
：
．我们称这个轨迹的定义为双曲线的第二定义．
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