材料的电阻率ρ随温度变化的规律为ρ=ρ0(l+αt),其α称为电阻恒温系数,ρ0是材料在t=0℃时的电阻率.在一定温度范围内α是与温度无关的常量,金属的电阻一般随温度的增加而增加,具有正温度系数;而某些非金属如碳等则相反,具有负温度系数,利用具有正负温度系数的两种材料的互补特性,可制成阻值在一定温度范围内不随温度变化的电阻.已知,在0℃时,铜的电阻率为1.7×10-8Ω·m,碳的电阻率为3.5×10-8Ω·m;在0℃附近,铜的电阻温度系数为3.9×10-3℃-1,碳的电阻温度系数为-5×10-4℃-1.将横截面积相同的碳棒与铜棒串接成长1.0m导体,要求其电阻在0℃附近不随温度变化,求所需碳棒的长度(忽略碳棒和铜棒的尺寸随温度的变化)
答案:3.8×10-3m
解析:
设所需碳棒的长度为L1,电阻率为ρ1,电阻恒温系数为α1;铜棒的长度为L2,电阻率为ρ2,电阻恒温系数为α2.根据题意有
ρ1=ρ10(l+α1t) ①
ρ2=ρ20(l+α2t) ②
式中ρ10、ρ20分别为碳和铜在0℃时的电阻率.
设碳棒的电阻为R1,铜棒的电阻为R2,有
③
④
式中S为碳棒与铜棒的横截面积.
碳棒和铜棒连接成的导体的总电阻和总长度分别为
R=R1+R2 ⑤
L0=L1+L2 ⑥
式中L0=1.0m
联立以上各式得:
⑦
要使电阻R不随温度t变化,⑦式中t的系数必须为零.即
⑧
联立⑥⑧得:
⑨
代入数据解得:L1=3.8×10-3m ⑩