解法一：（1）如图：

（1分）

故．

所以．又．（3分）

故．（4分）

在Rt△AOG中，，即．

故当时，直线．（6分）

（Ⅱ）依题意，要在A1C1上找一点Q，使得D1Q⊥AP．只需．（7分）

设，可推测A1C1的中点O1即为所求的Q点．（8分）

因为D1O1⊥A1C1，D1O1⊥AA1，所以D1O1⊥面ACC1A1．

即．（10分）

又，故D1O1⊥AP．即D1Q⊥AP．（12分）

解法二：（１）建立如图所示的空间直角坐标系，（1分）

则A（1，0，0）， B（1，1，0）， P（0，1，m），C（0，1，0）， D（0，0，0）， B1（1，1，1）， D1（0，0，1）．

所以，．（2分）

又由的一个法向量．（3分）

设AP与面BDD1B1所成的角为θ，

则．（4分）

依题意有：，解得．（5分）

故当时，直线AP与平面BDD1B1所成的角的正切值为．（6分）

（2）若在A1C1上存在这样的点Q，设此点的横坐标为x，（7分）

则．（8分）

依题意，对任意的m要使，只需对恒成立．（9分）

，（11分）

即Q为A1C1的中点时，满足题设的要求．（12分）