19．（本小题满分12分）已知四棱锥P—ABCD，底面ABCD是直角梯形，AD∥BC，∠BCD=90°，，△ABM是边长为2的等边三角形，．
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）若点E为PC中点，求二面角P—MD—E的余弦值．
解：
（Ⅰ）∵△ABM是边长为2的等边三角形，底面ABCD是直角梯形，
，又，， ． 又 （6分） （Ⅱ）以D为原点，DC所在直线为x轴，DA所在直线为y轴，
，又，，
．
又
（6分）
（Ⅱ）以D为原点，DC所在直线为x轴，DA所在直线为y轴，
过D且与PA平行的直线为z轴，建立空间直角坐标系D－xyz， 则 设平面PMD的法向量为， 则 取（8分） ∵E为PC中点，则， 设平面MDE的法向量为， 则取（10分） 由．∴二面角P—MD—E的余弦值为．（12分）
过D且与PA平行的直线为z轴，建立空间直角坐标系D－xyz，
则
设平面PMD的法向量为，
取（8分）
∵E为PC中点，则，
设平面MDE的法向量为，
则取（10分）
由．∴二面角P—MD—E的余弦值为．（12分）
，又
，
，
．
（6分）
，
（8分）
，
，
取
（10分）
．∴二面角P—MD—E的余弦值为
．（12分）
，△ABM是边长为2的等边三角形，
．
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