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16.(13分)如图所示,一轻质弹簧左端固定在足够长的水平轨道左侧,水平轨道的PQ段粗糙,调节其初始长度为l=1.5m,水平轨道右侧连接半径为R=0.4m的竖直圆形光滑轨道.可视为质点的滑块将弹簧压缩至A点后由静止释放,经过水平轨道PQ后,恰好能通过圆形轨道的最高点B.已知滑块质量m=1kg,与PQ段间的动摩擦因数μ=0.4,轨道其它部分摩擦不计.g取10 m/s2,求∶

  (1)弹簧压缩至A点时弹簧的弹性势能Ep

  (2)若每次均从A点由静止释放滑块,同时调节PQ段的长度,为使滑块在进入圆形轨道后能够不脱离轨道而运动,PQ段的长度l应满足什么条件?

 

答案与解析:

解:(1)设物块冲上圆形轨道最高点B时速度为v,由能量守恒定律得:

Epmmv2+2mgR+μmgl   ①(2分)

物块在B点时,重力提供向心力,由牛顿第二定律得:

  ②(2分)

联立①②式并代入数据解得Epm=16 J(2分)

  • 若要使物块不脱离轨道,分两种情况讨论:

(i)滑块能够通过B点而不脱离轨道,则应满足:l≤1.5m  ③(2分)

(ii)滑块能够到达圆形轨道,则应满足:Epm>μmgl,解得l<4m  ④(2分)

滑块到达圆形轨道而又不超过与圆心等高的点C时,如图所示,临界条件取到达C点时速度恰好为零,则有Epm≤mgR+μmgl,解得l≥3m  ⑤(2分)

综合③④⑤式可得PQ段长度l应满足的条件是:

l≤1.5m或3m≤l<4m(1分)