14、1或或

考点：单动点问题；直角三角形斜边上中线的性质；等边三角形的判定和性质；锐角三角函数定义；特殊角的三角函数值；勾股定理；分类思想的应用．

分析：分三种情况讨论：

若点P在线段CO上，且∠APB＝90°，如答图1，

∵AO＝BO，∠APB＝90°，∴PO＝AO＝BO＝1．

又∠AOC＝60°，∴△APO是等边三角形．∴AP＝1．

若点P在线段CO延长线上，且∠APB＝90°，如答图2，

∵AO＝BO，∠APB＝90°，∴PO＝AO＝BO＝1．

又∠AOC＝60°，∴∠BAP＝30°，

．

若点P在线段CO延长线上，且∠ABP＝90°，如答图3，

∵BO＝AO＝1，∠BOP＝∠AOC＝60°．

．

∴AP的长为1或或．