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第Ⅰ卷 选择题
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1、复数
在复平面上对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
2、已知a∈R，则“a＞3”是“a2＞3a”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既非充分也非必要条件
3、设{an}为等差数列，公差d＝－2，Sn为其前n项和，若S10＝S11，则a1＝（ ）
A．18 B．22
C．20 D．24
4、已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）＝2x－3，则f（－2）＝（ ）
A．1 B．－1
C．
D．
5、下图给出的是计算
的值的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是（ ）
A．i＞10？ B．i＜10？
C．i＞20？ D．i＜20？
6、将函数f（x）＝sin（2x＋φ）的图象向左平移
个单位，所得到的函数图象关于y轴对称，则φ的一个可能取值为（ ）
A．
B．0
C．
D．
7、求曲线y＝x2与y＝x所围成图形的面积，其中正确的是（ ）
8、设l，m，n为三条不同的直线，α为一个平面，下列命题中正确的个数是（ ）
①若l⊥α，则l与α相交
②若m
α，n
α，l⊥m，l⊥n，则l⊥α
③若l∥m，m∥n，l⊥α，则n⊥α
④若l∥m，m⊥α，n⊥α，则l∥n
A．1 B．2
C．3 D．4
9、如图，已知
，点C在线段AB上，且∠AOC＝30°，设
，则
等于（ ）
A．
B．3
C．
D．
10、已知曲线C：y＝2x2，点A（0，－2）及点B（3，a），从点A观察点B，要使视线不被曲线C挡住，则实数a的取值范围是（ ）
A．（4，＋∞） B．（－∞，4）
C．（10，＋∞）D．（－∞，10）
11、某四面体的三视图如图所示，正视图、俯视图都是腰长为2的等腰直角三角形，左视图是边长为2的正方形，则此四面体的四个面中面积最大的为（ ）
A．
B．4
C．
D．
12、设函数f（x）在R上存在导数f′（x），
，有f（－x）＋f（x）＝2x2，在（0，＋∞）上f′（x）＞2x，若f（2－m）＋4m－4≥f（m），则实数m的取值范围为（ ）
A．－1≤m≤1 B．m≤1
C．－2≤m≤2 D．m≥2
第Ⅱ卷 非选择题
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13、已知关于x的二项式
展开式的二项式系数之和为32，常数项为80，则实数a的值为__________．
14、变量x、y满足条件
，则（x－2）2＋y2的最小值为__________．
15、△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a，b，c成等比数列，若
，
，则a＋c的值为__________．
个单位长度可得
的图像，保持纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，可得
的图像，故
（6分）
，
单调递增，
单调递减，
f（x）单调递增，
，x＝0时
，
时
．
有唯一实数根的m的取值范围为
（12分）
知
（2分）
（4分）
，故
．
． ①
② （8分）
（10分）
（12分）16、设a为实常数，y＝f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＜0时，
．若f（x）≥a＋1对一切x≥0成立，则a的取值范围是__________．
，
得k＝3，常数项为
．
有最小值为5．
，
，ac＝13，
，
，
．
对一切x≥0恒成立，故a≤－1，当x＜0时，
，且f（x）为奇函数，故当x＞0时，
，当x＞0时，
对x＞0恒成立，即
，即
，
．三、解答题（17—21为必做题）
17、（本小题满分12分）已知数列{an}中，a1＝3，a2＝5且数列{an}的前n项和Sn满足Sn＋Sn－2＝2Sn－1＋2（n≥3）；
显示答案与解析（1）求证：{an}为等差数列；
（2）记数列
，求数列{bn}的前n项和Tn．
18、（本小题满分12分）将函数
图像上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移
个单位长度得到y＝sinx的图像．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）当x∈[0，3π]时，方程f（x）＝m有唯一实数根，求m的取值范围．
显示答案与解析19、（本小题满分12分）已知函数f（x）＝x3－3ax2＋3a2x－a3（a∈R）的图像关于点（1，0）成中心对称．
（1）确定f（x）的解析式；
（2）求函数g（x）＝f（x）－2x2在[－1，1]上的最大值和最小值．
显示答案与解析
（1分）
（2分）
，代入f（x）得
，整理得：
对x∈R恒成立，则
（6分）
是奇函数，
是将f（x）的图像向左（a＜0）或向右（a＞0）平移|a|个单位，由题意平移后的图像关于点（1，0）成中心对称，故a＝1．
，又x∈[－1，1]，
时g（x）递增，
时g（x）递减，故
，
．（10分）
，
．（12分）20、（本小题满分12分）如图，在棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1中，P是侧棱CC1上的一点，CP＝m；
（1）试确定m，使直线AP与平面BDD1B1所成角的正切值为
；
（2）在线段A1C1上是否存在一个定点Q，使得对任意的m，D1Q垂直于AP，并证明你的结论．
（1分）
故
．
．又
．（3分）
．（4分）
，即
．
时，直线
．（6分）
．（7分）
，可推测A
．（10分）
，故D
，
．（2分）
的一个法向量．（3分）
．（4分）
，解得
．（5分）
时，直线AP与平面BDD
．（6分）
．（8分）
，只需
对
恒成立．（9分）
，（11分）21、（本小题满分12分）已知函数f（x）＝xln（ax）（a＞0）
（1）若
对任意的x＞0恒成立，求实数a的取值范围；
（2）当a＝1时，设函数f（x）的极值点为x0，若实数m，n满足x0＜m＜1，x0＜n＜1，且m＋n＜1．求证：
．
即
在x＞0恒成立
时，
，则h（x）在（0，2）递增，x＞2时，
，
，依题意
．
，令
得
，且
递减，
递增，故
．
，由
递增，则有
，又
，即得
，即证．四、选修题：（请考生在下列22题、23题、24题中任选一题作答，多选以所选第一题的解答给分）
22、（本小题满分10分）如图，圆O的半径OB垂直于直径AC，M为AO上一点，BM的延长线交圆O于N，过N点的切线交CA的延长线于点P；
（1）求证：PM2＝PA·PC；
（2）若MN＝2，
，求劣弧长BN．
，则在直角△OBM中，BM＝2x
，由相交弦定理得
．
，∴ BN弧长
．
23、（本小题满分10分）将单位圆经过伸缩变换φ：
得到曲线C：
；
（1）求实数λ，μ的值；
（2）以原点O为极点，x轴为极轴建立极坐标系，将曲线C上任意一点到极点的距离ρ（ρ≥0）表示为对应极角θ（0≤θ<2π）的函数，并探求θ为何值时，ρ取得最小值？
显示答案与解析
知
，故当
时，
．24、（本小题满分10分）已知a，b，c∈R＋，求证：
．